什么数学理论令天才们前赴后继？看得意犹未尽！

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什么数学理论令天才们前赴后继？看得意犹未尽！



“在一切理论成就中，未必有什么像 17 世纪下半叶微积分的发明那样被看成人类精神的最高胜利了。”——恩格斯

“微积分”这一名称出现在哪本书中？微积分教科书又是谁人所写？微积分是谁发明的？洛必达法则居然是伯努利的研究成果？谁被誉为“分析学的化身”？谁又被誉为“现代分析学之父”？哪些数学天才使微积分的创建过程终于画上句号？……

《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》宛如一座陈列室，汇聚了十多位数学大师的杰作，当你徜徉其中时会对人类的想象力惊叹不已，当你离去时必然满怀对天才们的钦佩感激之情。牛顿和莱布尼茨这两位奠基人我们都已相对熟悉了，今天我们将走进微积分“3 号”人物——伯努利兄弟。

作者：[美] William Dunham

译者：李伯民 汪军 张怀勇

01  微积分“3 号”人物——执拗兄弟

通常，一场科学革命不单是需要一位奠基的天才。它往往也需要一位组织天才，去确立科学中的核心思想，对它的产物去粗取精，去伪存真，并使之能为大众理解。

一位卓越的建筑设计师可以设计出一幅宏伟的蓝图，但是这份蓝图终究需要一支建筑队伍将其变成一座大厦。

如果说牛顿和莱布尼茨是微积分的建筑设计师，那么正是雅各布·伯努利和约翰·伯努利所做的大量工作，才把微积分建立成今天我们所知的这门学科。

这兄弟二人阅读了莱布尼茨从 1684 年到 1686 年发表的最早论文，他们发现自己如临决斗前那样兴奋。他们抓住云山雾罩般的阐述，充实它的细节，然后通过与莱布尼茨的交流以及兄弟彼此之间的交流，完善了统一性、条理性和术语。例如，“积分”一词正是雅各布给出的。

在他们手中，微积分变成当今学生易于接受的形式，即具有基本的求导法则、积分方法和初等微分方程的解法。

虽然同属优秀的数学家，但是伯努利兄弟二人的个人表现完全可以用“不得体”来形容。尤其是约翰，在莱布尼茨与牛顿关于微积分发明权之争中充当了好斗的角色，像莱布尼茨的牛头犬一样，忠实地站在他所尊奉为英雄的“大名鼎鼎的莱布尼茨”一边，甚至声称牛顿不仅没有发明微积分，而且从来没有完全理解它。这当然是对历史上最杰出的一个数学家的粗野无端的攻击。

对于家庭和谐来说不利，雅各布和约翰也以相互争斗为乐。例如，哥哥雅各布称弟弟约翰为“我的学生”，即使是在这个学生的才干已经明显和他相当的时候也是这样。同样，约翰在事隔多年后还在津津乐道地谈论如何在一个晚上解决了困扰雅各布将近一年的一个问题。

尽管他们具有难以相处的执拗天性，但是，伯努利兄弟还是在数学史上写下了浓墨重彩的篇章。

02  为五斗米折腰的冤种弟弟

雅各布除了在微积分上的贡献以外，还著有《猜度术》一书，在 1713 年（他去世后）出版。这本书是概率论的经典之作，书中给出大数定律的证明，为了纪念他，人们往往把这个基本结果称为“伯努利定理”。

至于约翰，他是世界上第一本微积分教科书的捉刀人。这件事情起于一项协议，按照协议约翰给法国贵族纪尧姆·德·洛必达侯爵（1661—1704）提供微积分课材料，获取报酬。

洛必达随后在 1696 年整理出版了这些材料，书名为《用于了解曲线的无穷小分析》。在这本书里首次出现“洛必达法则”，并且这个名称就此在微分学中固定下来，尽管像书里的大部分内容一样，这个法则实际上是约翰·伯努利发现的。

在书的前言里，洛必达表达了对伯努利和莱布尼茨的感谢，他写道：“我无偿地使用了他们的发现，所以我会坦诚归还任何他们声称应该属于他们的东西。”

性情暴躁的约翰当然不满足于这种姿态表示，他确实声称这个法则是他发明的，几年后，他抱怨洛必达用金钱换取他人的才智。当然，是伯努利自己实实在在拿到了钱，正如数学史家 Dirk Struik 提醒我们的：“就让好侯爵继续拥有他的优雅法则吧，毕竟他付钱了。”

为避免再次失去荣誉，约翰写了一篇关于积分学的内容广泛的论文，在 1742 年用自己的署名发表。

为更清楚了解伯努利兄弟二人在数学上的成就，我们有选择地介绍他们的成果。首先从雅各布的调和级数的发散证明开始，然后考察他对一些奇异收敛级数的处理，最后介绍约翰对他所谓“指数微积分”的贡献。

03  雅各布与调和级数

像在他之前的牛顿和莱布尼茨以及许多后来的数学家一样，雅各布·伯努利认为无穷级数是进入分析学的必由之路。这一点从 1689 年他所写的专题论文《论无穷级数及其有限和》中可以明显看出。

这篇文章是对无穷级数的最高水平的讨论，因为无穷级数在临近 17 世纪末才被人们了解。雅各布考察了一类相似的级数，例如等比级数、二项式级数、反正切级数和对数级数，以及某些以前从未讨论过的级数。在本章，我们考察从《论无穷级数及其有限和》中节录的两段文字，第一段专门讨论调和级数的奇异特性。

在 1689 年之前很久，有人已经发现级数 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … 发散到无穷大。在大多数现代教科书中可以找到尼科尔·奥雷姆（大约 1323—1382）发现的证明，以及彼得罗·门戈里（1625—1686）提出的另一种证明。

莱布尼茨也许并不了解这两位先驱者的工作，在他早年在巴黎任职期间发现这个级数是发散的，用他的话说是 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … = 1/0 ，并告诉他的英国同行，而从他们那里获悉，又有人捷足先登了。

所以，调和级数的发散已不再是新闻。但是，我们通过下面另外一种方法得到同样的结果，可以增长见识，更不必说其中的多样性的魅力了。

雅各布·伯努利的发散性证明就是与他的前辈们的证明迥然不同的这样一种方法。等比数列和等差数列在他那个时代如日中天，他首先从对比这两类数列开始。他将前一种数列描述为 A, B, C, D, … ，其中 B/A = C/B = D/C ，等等，例如，2, 1, 1/2, 1/4,… 。他将后一种的数列，写成 A, B, C, D,… 的形式，其中 B-A = C-B = D-C ，等等；一个例子就是 2, 5, 8, 11,… 。

当然，现代的书写习惯是强调等比数列的公比（r）和等差数列的公差（d），因此我们将等比数列写成 A , Ar , Ar^2 , Ar^3 , … ，而将等差数列写成 A , A+d , A+2d , A+3d , … 。

作为雅各布的《论无穷级数及其有限和》的第 4 个命题，他证明了关于前两项相同的正数项等比数列和等差数列的一个引理。



在几个命题之后，雅各布证明了在描述方式上带有 17 世纪风格的下述结果。



以这些预备知识做铺垫，现在我们可以看看雅各布对调和级数进行的分析。此项分析在《论无穷级数及其有限和》一文中紧接在约翰的级数发散证明之后。将弟弟的成果包含在他的论文中也许显得异乎寻常地慷慨，但是雅各布发起了挑战，给出自己的另一个证明。

用他的话说，目标是证明“无穷调和级数的和 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … 超过任意给定的数。因此，它的和为无穷大”。



这是一个构思巧妙的证明。雅各布很清楚它的重要意义，他强调，“一个最后项趋近零的无穷级数的和也许是有限的，也许是无限的”。

自然，不会有现代数学家谈论无穷级数的“最后项”，但是雅各布的意图是清楚的：即使无穷级数的一般项缩小至零，也不足以保证级数收敛。调和级数就是一个极好的例子。

雅各布·伯努利因此证明了这一点，今天大家依然采用这个证明。

来源：图灵新知

William Dunham 中国科学院数学与系统科学研究院 2024 年 10 月 24 日 14:26 北京