阿贝尔：是怎样的数学天才能让一个国家念念不忘 200 年？

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阿贝尔：是怎样的数学天才能让一个国家念念不忘 200 年？

原创 关注全球科研的 科学方程式 2024 年 08 月 05 日 14:31 北京

众所周知，诺贝尔奖没有设立数学奖。为了弥补这个遗憾，隔壁挪威人想要为数学专设一个奖项。

这个想法最早提出于 1899 年。名字都想好了——阿贝尔奖（Abel Prize），纪念一位年仅 26 岁就英年早逝的数学奇才，尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）。

阿贝尔出生于 1802 年 8 月 5 日，1902 年将是他的百年诞辰。如果能从这一年开始颁奖，正好也向全世界再次介绍他、传颂他。


挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802-1829）

为什么是他呢？

因为阿贝尔不仅是挪威数学的旗手，也是挪威人的“意难平”。他天资聪慧，成绩斐然，却因为同时代数学大师高斯和柯西的两次“错过”，名利皆空，生前备受冷遇。在他去世后，他的研究又如巨焰照亮夜空，震动整个西方数学界，20 多个以阿贝尔命名的概念或定理青史长留。

法国数学家查尔斯·埃尔米特（Charles Hermite）曾这样评价阿贝尔的贡献：“足以让数学家们忙上五百年。”

遗憾的是，随着瑞典和挪威联合王国的解体，阿贝尔奖没能随诺贝尔奖一起启航。直到 2002 年阿贝尔诞辰 200 周年之际，阿贝尔奖才正式揭幕。

这不免让我们更加好奇，是怎样的阿贝尔让一个国家念念不忘两百多年？


阿贝尔奖每年颁发一次，奖金约 500 多万人民币，以表彰那些在数学领域做出卓越贡献的人。阿贝尔奖与菲尔兹奖同称为“数学家的诺贝尔奖”。

01  第一次遗憾：被高斯忽视的挪威少年

阿贝尔最著名的成果，是首次完整证明无法用根式求解一般五次方程。

这是一个困扰了数学家近三个世纪的代数难题。自十六世纪发现了三次方程和四次方程的求解公式以来，学界一直在竭力探索：是否能用类似方法求解五次及以上多项式方程。

阿贝尔最初的研究方向也是寻找这个问题的解。

1821 年，19 岁的阿贝尔认为他找到了答案。他将成果寄给了当时北欧地区顶尖的数学家、研究数论的卡尔·斐迪南·德根（Carl Ferdinand Degen），请他帮忙审阅。

德根没有发现任何错误。他惊叹于阿贝尔自学成才的天赋，但又心生疑虑：

两百多年来这么多杰出的数学家都无法寻求的解，真的就让一个挪威学生找到了吗？

严谨之下，德根建议阿贝尔给出具体的数值例子来阐明他的方法。后者在试图举例时，发现了之前的证明存在严重错误。

没有任何导师可以指导阿贝尔接下来该如何去做。他是孤独的、羞涩的，却又被赋予不同寻常的才华。在原路径走不通后，阿贝尔决定往反方向发展，终于在 1824 年证明了无法用根式求解一般五次方程，即阿贝尔-鲁菲尼定理。

由于意大利数学家保罗·鲁菲尼（Paolo Ruffini）已经于 1799 年做出过不完全证明，所以结合阿贝尔 1824 年的完整证明，该陈述被命名为阿贝尔-鲁菲尼定理：

对于任意系数的五次或更高次的一般多项式方程，没有以根式表示的解。（这里的“一般”是指方程的系数被视为和操作为不确定项。）

列举一个最简单的不能用根式求解的五次方程：



在阿贝尔发表证明后不久，法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Evariste Galois）提出了伽罗瓦理论，该理论可以判断任何给定方程是否可用根式解。阿贝尔和伽罗瓦都被奉为群论的开创者。

虽然这个证明意义重大，但在当时并没有被更多人知道。

十九世纪上半叶，数学研究的前沿阵地是在法国巴黎、在德国哥廷根。偏安一隅的挪威既没钱又没人，依附于丹麦或瑞典，属于欧洲的三流之地。

为了扩大这篇论文的影响，阿贝尔决定将它写成法文并自费出版。经济拮据的他，想方设法将篇幅精简到六页，不想却弄巧成拙，导致内容艰涩难懂。

阿贝尔将论文册子寄给了几位大数学家，其中包括享誉世界的“首席数学家”卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）。然而高斯并没有拆开看过，所以一直未有回复。

没有大师背书，谁会注意到一个远在挪威的无名小卒呢？


高斯也曾研究过五次方程，并猜测无法用代数方法解出。如果他能打开阿贝尔的信件，阿贝尔能否更早地敲开欧洲学术中心的大门呢？

02  第二次遗憾：被柯西搁置的“巴黎论文”

阿贝尔当然没有放弃。他听从德根的建议，将注意力转向椭圆函数的研究。

虽然生活还是穷困潦倒，但挪威政府的奖学金总算申请下来了，他计划去法国、德国拜访那些神往已久的顶尖数学家。为此，他还花了两年时间学习法语和德语。

1826 年，阿贝尔将他最重要的工作成果——超然函数的研究报告带到了巴黎。这一次，他的目标是向法国科学院投稿。

他在巴黎忍受着高昂的房租和严重的抑郁症，还不幸染上了不治之症肺结核，又是迟迟等不到法国科学院的回复。

被委托审阅的是两位法国大数学家奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）和阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre）。然而，柯西当时正忙于自己的研究，阿贝尔的论文被他带回去后就不知道搁置在哪个角落了。


勒让德毕生研究椭圆积分，却从没想过把椭圆积分反演，就可得出椭圆函数。阿贝尔于 1827 年将反演的想法发表为论文，得出了椭圆函数的基本性质，并证明了椭圆函数的周期性。（上图为勒让德仅存的肖像画，也是一副讽刺画）

“憔悴、阴郁、疲倦、忧心忡忡……一天只能吃一顿饭。”阿贝尔如此形容困守巴黎的几个月。最后他花光了钱，只能带着无尽遗憾和病痛默默离开。他给恩师伯恩特·迈克尔·霍姆博（Bernt Michael Holmboe）写了一封信，如此描述自己的失落：

“法国人对陌生人比德国人要拘谨得多。与他们建立亲密关系极其困难，我不敢妄自尊大。最后，每个初学者在这里都很难引起注意。”

被柯西搁置的论文，就是后来奉为数学史上里程碑的《巴黎论文》。阿贝尔提出了比椭圆函数和椭圆积分更为广泛的阿贝尔函数和阿贝尔积分，同时还证明了阿贝尔定理。这些成果足以使他跻身世界顶尖数学家之列。

03  终极遗憾：被死神剥夺的荣耀与梦想

没有去哥廷根结识伟大的高斯，也没能在巴黎崭露头角，阿贝尔像个逃兵一样于 1827 年 5 月回到了挪威。他还是没有一份稳定的工作，甚至还多了一身病痛和额外的家庭债务。

贫病交加中，阿贝尔依旧没有放弃数学研究。之后两年，他密集性地产出了代数方程、椭圆函数和无穷级数等一系列开创性的研究成果。

幸好有他在柏林结识的奥古斯特·利奥波德·克雷尔（August Leopold Crelle），这位数学家兼出版人很看重阿贝尔的作品，帮他出版了大部分研究著作。


克雷尔于 1826 年创办了《Crelle's Journal》，也称克雷尔杂志。它是十九世纪主要的数学期刊，阿贝尔的大部分著作都发表于此，包括一般五次方程不可能用根式解的扩展证明。

然而，丧钟即将敲响，26 岁的少年再无成名机会。1829 年 4 月 6 日，阿贝尔因肺结核恶化离世。弥留之际，他还在努力复写那篇他认为永远丢失了的《巴黎论文》。

吊诡的是，两天之后，也就是 4 月 8 日，接连从巴黎和柏林传来了两个消息。其一是他的《巴黎论文》重新被发现。华章丽句，尽述赞美，甚至还要为他追授科学院大奖。其二是克雷尔终于为他争取到了柏林大学的永久教职。那是阿贝尔梦寐以求的工作，既可以疏解经济之困，又能在柏林长期稳定地做数学研究。

“你将来到一个好国家，气候更好，更接近科学，更接近欣赏你、喜欢你的真诚朋友。”克雷尔在信中描述的美好蓝图，永远等不来阿贝尔了。

04  挪威“意难平”：用最好的数学奖纪念早逝的天才

阿贝尔是挪威历史上第一位声名显赫的数学家。他凭借聪慧天资脱颖而出，让整个挪威满怀希望，相信阿贝尔将闻名欧洲，为挪威争取荣光。

遗憾的是，天才早逝，阿贝尔的价值是在他去世后才被重视和称赞。

在他的身上，也投射着挪威的影子。整个十九世纪，挪威一直在为实现彻底独立而努力。民族意识觉醒，工业化和城市化加速推进，想要积极融入欧洲主流。

阿贝尔的故事，既让挪威人倍感惋惜，又激励着他们自强不息。

继阿贝尔之后，挪威涌现的数学家代表：


证明群论中重要的基础定理-西罗定理的西罗（Peter Ludwig Mejdell Sylow，1832-1918）


创立李群和李代数理论的索菲斯·李（Marius Sophus Lie，1842-1899）


开创布朗筛法、对中国数论研究影响重大的维戈·布朗（Viggo Brun，1885-1978）


荣膺菲尔兹奖、沃尔夫奖的阿特勒·塞尔伯格（Atle Selberg，1917-2007)

在阿贝尔之后，挪威数学界开始人才辈出。挪威更是有意将数学宣扬为他们的“国家名片。阿贝尔的肖像被印上了邮票、纸币，被视为民族英雄一般的人物。

随着每年阿贝尔奖的的颁发，阿贝尔的故事还会用以各种语言向向全世界反复传播。让越来越多的人知道阿贝尔，无疑是向这位杰出数学家最好的致敬。

生命短暂，意义深远。他是数学史上的永恒遗憾，也是挪威的永远骄傲。



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