整数开方公式的实践应用及要领事项

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    数学上把求算n个相同整数乘积的运算叫乘方，反之，把求算n个相同整数乘积的逆运算叫做开方。在现今的电子时代，人们求算数字的开方结果大多用计算器完成。这里提及讨论的开方是指只依赖笔纸的人工运算，是初等数学基础理论范畴内纯粹的数学算法规则，是对开方知识的深入探索学习。
    如何把对一个整数的开2次方、开3次方、开4次方、开5次方....至n次方的运算过程，总结出像作普通除法一样的竖式运算形式，进而找到建立起乘方的逆运算理论，是数学家们千百年来的努力目标之一。
关于开方的研究，我国古代就多有数学成果。成书于公元前一世纪的《九章算术》中，就记载了基于算筹的开平方方法。后来又有北宋数学家贾宪进一步完善成为：增乘开平方法。而国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍。
在现今的课本中和各种网络平台上关于开方运算的学习内容，介绍了一些能够计算开2次方根，3次方根的几种算法，对于更高方次的整数开方需要，课堂学习教学实践一般讲授以下四种理论方法：一、连分数计算法；二、高等数学中的泰勒展开式法；三、平均值法；四、众数公式法； 但无一例外，用这些方法计算出被开方整数的根商都只能是满足一定精度的近似结果。如何在整数n次开方运算中得到没有误差的根商计算结果？在两千多年的时间里，世界的数学家们始终无法给出精确等于层面的开方公式，整数开方问题成了基础数论中事实上的理论空白。
    这里介绍一种能够直接计算整数开n次方结果的开方公式：“整数二元项系数、楼层、根商相对应的模版法开方公式”（或称模版法整数开方公式）。 整数模版法开方公式的实际操作步骤过程类似于现行的开平方、开立方算法竖式，具有中学文化程度的人稍加学习指导就可实践任意整数n方次的开方运算。



应用整数模版法开方公式的实际操作步骤过程如下：
1、首先在纸面的右侧搭建类似除法竖式的开方竖式，把被开方数写在竖式下方。根据目标数开n次方的要求，在目标数上方用分割号从个位起向左每n位数分为一节，其中最左一节可能是n位数或是小于n的  ...    3位、2位或1位数。从高位开始每次运算一节开方目标数，目标数能够分出几节，就决定方根结果由几位数字构成。与除法竖式原理相同，确定根商的运算过程由被开方数左侧的高位数开始。
2、在原开方竖式左边搭建楼层计算平台，每一层楼对应产生一位根商值。第一位根商值对应一楼，第二位根商值对应二楼，依此类推。每一楼层计算过程将产生一位根商结果。首位根商对应一楼，一楼计算平台只判断根商方幂乘积关系。由二楼开始，在计算平台中输入模版数据，依据开方计算目标要求，模版内输入计算式的总行数等于开方指数n。
3、模版中每行数据由三部分内容组成，第一项是楼层对应位数根商值。根商值的选定原则是：二楼输入已得出一位根商数的10倍值，三楼输入已得出二位根商数的10倍值，依此类推。每行根商值都有指数条件，每行根商值的指数由上至下按最高n-1依次递减至1。第二项内容为二元项系数，此条件根据开方指数n填入，具体数字是与指数对应的杨辉三角全部二元项系数值，由上至下全部填入。例如开方指数2时填2；开方指数3时填3,3；开方指数4时填4,6,4；第三项内容为所求试选根商值的预留括号，括号外有指数条件，括号外指数从下行往上按最高n-1递减至1。
4、试商选定括号内所求变数。可通过第一行算式结果试商判断预选变数大小。如果发现所求根商偏大或偏小，可减小或增大括号内数字直至合适后作为所求根商值写在算式顶端，同时把各行算式中的括号填满。分别计算后把各行结果相加得到楼层和，再把对应根商值与楼层和结果相乘后写入对应竖式下做减法。楼层计算到此完成，把所得差值落写，后面填上下一节被开方数字则进入下层楼求算程序。
5、重复铺好楼层模版，填入相关数据后继续上述计算程序方法，对被开方数是完全方幂值的整数，如根号下数字全部落写完毕，则必定得到余数为0，即本次开方运算全部完成。如根号下数字全部落写完毕仍有余数则证明被开方数不是完全方幂数，我们可每次添加n个0继续运算求算小数根商，此时不论计算到多少楼层，得出的每位根商小数都是精确值关系。对于不是完全方幂值的被开方整数，余数关系将永远存在。
注意事项：求和及减差时一定注意各行数字对齐位数。运算者应熟练掌握杨辉三角形系数规律知识，在(a+b)^n的展开式中，对与任意指数n，所含二元项的总数都是n-1个。



下面是利用整数模版开方公式进行开方运算的具体数字例子。



这里提醒计算者应熟练整数开方运算的四大要素条件：
一、依据开方目标数指数确定模版内输入计算式的总行数等于开方指数n。
二、正确填写楼层对应的10倍根商值及指数排列规律；
三、正确填写与开方指数相匹配的二元项系数；
四、正确找到括号内试选商值并填写括号外指数条件；

随着整数开方公式的教学普及，困扰世界数学界两千多年的整数开方理论短板被彻底终结。数学上互为逆运算关系的六大算术基本算法法则：加法与减法、乘法与除法、乘方与开方的理论架构全部建立完成。时至今日，在基础数论学习阶段的普遍基础知识公式中还有新公式被发现也再一次刷新了人们的想象认知。