贝克莱悖论

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贝克莱悖论

原创 坚定 数学史与数学教学 2024-06-04 06:45 广东

      贝克莱悖论是由 18 世纪英国哲学家、大主教乔治·贝克莱提出的，针对当时微积分中无穷小量概念的逻辑矛盾。贝克莱悖论的核心问题是：无穷小量在实际应用中必须既是 0 ，又不是 0 ，这在形式逻辑上构成了一个矛盾。

      17 世纪后期，艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨独立创立了微积分学，这是一种强大的数学工具，用于研究变化率和累积量等问题。微积分的早期形式依赖于无穷小量的概念，即趋于零但不等于零的量。这个概念在解决实际问题时非常有效，但在理论上却缺乏严格的定义和基础。



       贝克莱在他的著作《分析学家》中，对微积分的基础提出了尖锐的批评。他认为，无穷小量作为既非零又趋近于零的量，在逻辑上是不可接受的。他讽刺地将无穷小量称为“已死量的幽灵”，暗示这种数学实体是不存在的，只是数学家们的想象。

     贝克莱悖论可以具体表述为以下问题：在微积分中，当我们考虑函数的变化率时，我们会用到无穷小量 Δx（表示自变量的微小变化）。在求导的过程中，我们假设 Δx 不等于 0 ，以便进行除法运算。然而，在求极限的过程中，我们又让 Δx 趋近于 0 ，以找到变化率的精确值。这就产生了一个矛盾：Δx 必须同时满足不等于 0 和趋近于 0 的条件。

      在 ε-δ 语言中，ε 代表一个任意小的正数，它用来描述函数值变化的精度；δ 代表另一个正数，它用来描述自变量变化的区间大小。具体来说，如果我们有一个函数 f(x) ，并且想要描述当 x 接近某个点 x0 时，f(x) 接近某个值 L 的趋势，我们可以这样定义：

       对于任意给定的 ε＞0 ，存在一个 δ＞0 ，使得当 0＜|x - x0|＜δ 时，有 |f(x) - L|＜ε 。

       这个定义的意思是，无论我们选择多么小的 ε ，只要 x 足够接近 x0（即在 x0 的一个去心邻域内），f(x) 的值就会足够接近 L（即在 L 的一个去心邻域内）。

      贝克莱的批评引起了数学界的广泛关注，并促使数学家们寻求微积分的严格基础。这个问题最终通过极限理论的发展得到了解决。极限理论不再依赖于无穷小量的直观概念，而是通过 ε-δ 语言来精确定义极限和连续性。在这种框架下，我们可以谈论当 Δx 趋近于 0 时函数值的变化趋势，而不需要直接引用无穷小量。

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