一位独具慧眼的数学家

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一位独具慧眼的数学家

来源：图灵新知 数学大院 2024-06-04 06:02 北京

傅里叶是个孤儿，他在一所本笃会修道士开办的军事学校接受了教育。直到 13 岁那年，他才从浑浑噩噩的状态中走出来，开始全身心投入于数学研究中。



在黎曼构建的虚数世界中，出现了一道道小小的波浪，而当这些波浪汇集在一起时，就能演奏出素数微妙的和谐之音。一位独具慧眼的数学家，注意到了黎曼的公式能捕捉到隐藏在素数中的和谐之音，他就是约瑟夫·傅里叶。

傅里叶是个孤儿，他在一所本笃会修道士开办的军事学校接受了教育。直到 13 岁那年，他才从浑浑噩噩的状态中走出来，开始全身心投入于数学研究中。傅里叶原本注定要成为一名修道士，但 1789 年爆发的大革命将他从之前强加给他的命运中解救了出来。现在，他可以尽情挥洒自己对数学和军事的热情了。

傅里叶是大革命的狂热支持者，很快就得到了拿破仑的关注。这位君主正在筹建科学院，那儿将源源不断地输出教师和工程师，以支持他的文化和军事变革。傅里叶不仅数学能力超群，还擅长授课。因此，他被拿破仑安排到巴黎综合理工学院，负责教授数学。

傅里叶在任教期间取得的成就令拿破仑大加赞赏。随着拿破仑在 1798 年远征埃及，傅里叶也跟随着他的脚步到了埃及。为了抑制英国不断扩张的势力，拿破仑要进行大规模远征，不过研究古代世界的计划也被他提上了日程。拿破仑的智慧之师一登上那艘开往北非的“东方号”旗舰，就立即工作起来。每天早晨，拿破仑都会向那些学术大使们宣布一个话题，可以在晚间博其一笑。水手们费力地拉动着那些绳索和帆，傅里叶和同事们就在甲板上忙着解决拿破仑抛出的各类问题，涉及的内容千奇百怪，从地球的年龄到其他行星是否宜居。

到达埃及后，事情并没有朝着预期的方向发展。1798 年 7 月，在金字塔一役靠武力占领开罗后，拿破仑失望地发现，埃及人似乎并不欢迎他们。拿破仑决定及时止损，返回巴黎，准备平息一场正在酝酿的叛乱。他启程时不告而别，抛弃了这些知识分子。被困在开罗的傅里叶，名气不大，不像一些人能溜之大吉，也不会有什么生命风险。他只能被迫留在那片沙漠中，直到 1801 年才成功回到了法国。

身处埃及时，傅里叶对那片灼热的沙漠萌生了别样的情感。回到巴黎后，他如法炮制，将自己的房间布置得像沙漠般灼热，以至于朋友们都称之为地狱熔炉。他相信酷热能保持身体健康，甚至能治愈一些疾病。在朋友们眼里，傅里叶将自己包裹得像个埃及木乃伊，住在像撒哈拉沙漠一样炎热的房间里，不停地流着汗。

傅里叶将其对高温的偏爱延伸到了学术上。他分析热的传导，并为自己在数学史上赢得了一席之地。其著作被英国物理学家威廉·汤姆逊（爱尔兰第一代开尔文勋爵）称作“伟大的诗作”。1812 年，法国科学院决定设立数学科学大奖，授予那些能够解开热量在物质之间传导之谜的人。在此激励下，傅里叶致力于研究热的传导。傅里叶提出的想法别出新裁且举足轻重。因此，他摘取了这项殊荣。但是面对勒让德等人对其专著的诟病，他也只能默默忍受。大奖赛的评委指出，他的论文中出现了很多错误，其中的数学推导也很不严谨。面对科学院的批评，傅里叶尽管大为不满，但还是认识到前路漫漫，任重道远。

当傅里叶着手修正分析中存在的错误时，他开始研究起那些表示物理现象的图像来。比如，表示温度随时间变化的曲线，或者表示声波的图像。他知道声音可以通过图像来描述，其中横轴代表时间，纵轴代表每个瞬间的音量和音高。

傅里叶从最简单的声波开始着手研究。如果敲击音叉使之振动发声，那么当你根据其发出的声波绘制波形图时，就会发现得到的是纯粹而完美的正弦波。傅里叶继续研究复杂的声音是如何通过组合这些纯粹的正弦波得到的。如果小提琴发出和音叉一样的音符，那么声波就大不相同了。由上文可知，小提琴的琴弦不是以基频振动的，其琴弦振动频率取决于琴弦的长度。有和声与表示弦长的简单分数相对应。每个用来表示和声的波形图也是正弦波，只不过频率更高一些。将这些纯粹的音符组合起来，以基本的最低音为主，就能让小提琴发出声音，其波形图就像锯齿一样。

单簧管和小提琴演奏同一音符时，发出的声音为何听起来大相径庭呢？表示单簧管声波的波形图像个方波函数，类似于城墙上方的开垛口，而代表小提琴声波的波形图却有凸出的尖角。两者存在差异的原因在于，单簧管的尾部是敞开的，而小提琴的两端是固定的。这意味着单簧管发出的和声与小提琴发出的和声大不相同。因此，用于描述单簧管声波的波形图，是由振动频率不同的正弦波组成的。

傅里叶发现，即使是用于描述管弦乐声波的复杂波形图，也可以分解为一组简单正弦波，它们是由每个乐器发出的基本音符以及和声组合而成的。傅里叶证实，由于每个纯音波都可以由音叉发出，同时敲击大量的音叉就能模拟一场管弦乐演奏会。经测试发现，一些人戴上眼罩后，就难以分辨这声音到底是来自管弦乐队还是来自成千上万的音叉。这个原理就是将音乐编码在 CD 上的关键：CD 命令扬声器以一定频率振动形成正弦波，而所有这些正弦波组合在一起，就能发出音乐之声。因此，即使你身处客厅，也能享受到仿佛管弦乐队或者其他乐队现场演奏般的听觉盛宴。

将不同频率的纯粹正弦波组合起来，能模拟的不仅仅是各类乐器发出的声音。例如，收音机未经调谐或者打开水龙头发出的静态白噪声，都可以用无限的正弦波来表示。只有在独一无二的频率下，才能模拟管弦乐。与之不同的是，白噪声是在连续频域内产生的。

傅里叶不落窠臼，富有远见。他不仅研究模拟发声，还开始探索如何运用正弦波图像来描述其他数理或物理现象。这种简单的正弦波图像可用作基石，构建那些管弦乐队或者流动的水龙头发出的声波的复杂波形图。许多和傅里叶同时代的人们却对此持怀疑态度。因此，法国一些德高望重的数学家强烈声讨傅里叶提出的这些观点。然而，傅里叶是拿破仑的座上宾。因此，他无所畏惧，敢于挑战权威。他证实，正确选择振动频率不同的正弦波，就能生成复杂的完整图像。将音叉发出的纯音组合起来，一台 CD 机就能发出复杂的音乐之声。同样，调整这些正弦波的高度，你也能生成合适的图形。

这正是黎曼在他那篇 10 页的论文里做到的。黎曼先从 ζ 函数图景的零点中获得正弦函数，然后将不同高度的正弦函数进行叠加，就生成了统计素数个数的阶梯图。傅里叶认为，黎曼创建的统计素数个数的公式发现了那些可谱写素数之声的基本音符。这复杂的素数之声可由阶梯曲线来表示。黎曼创建的波来自零点，就是那些在图景中位于海平面上的点，这些波就像音叉发出的声音一样，音符单一、清晰，也没有和声。同时奏响这些基本的波，就能发出素数之声。因此，黎曼弹奏的素数乐章，听起来到底如何呢？它听起来是像管弦乐，还是像打开水龙头发出的白噪声？如果黎曼的音符在连续频域内，那么素数就会发出白噪声；但是如果其音符的频率是离散的，那么素数之声就能模拟一场管弦乐演奏会。

本文原载于“图灵新知”公众号（2024 年 4 月 22 日）。“数学大院”经授权发布。

来源：数学大院