王梓坤：概率论今昔

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王梓坤：概率论今昔

原创 尚大海 尚万只老虎 2024-05-08 19:55 广东


王梓坤，1929 年生，江西吉安人。数学家，中国科学院院士，我国概率论研究的先驱和主要领导者之一。1952 年本科毕业于武汉大学数学系；1958 年毕业于莫斯科大学数学力学系，师从于数学家 A. N. Kolmogorov 教授和 R. L. Dobrushin 教授，获副博士学位。1952 年至 1984 年在南开大学任教，1984 年后任北京师范大学教授。曾任北京师范大学校长、汕头大学数学研究所所长。王梓坤教授的主要研究领域是概率论中的随机过程，他在生灭过程的构造、泛函分布和马氏过程的边界问题、遍历性、零一律等方面有卓越的成就，受到国外专家的高度评价。著有《概率论基础及其应用》《随机过程论》《生灭过程与马尔科夫链》《科学发现纵横谈》等。

本文来自王梓坤所著《概率论基础及其应用》一书的附录，介绍了古典和现代概率论的发展历程以及概率论的应用情况。做了少量修改和整理，以供学习和参考。

概率论是数学的一个分支，它研究的对象是随机事件的数量规律性。

概率论的历史相当悠久，它的发展，大致可分为三段：19 世纪以前、19 世纪和现代。

古典概率论的发展

概率论的早期研究不会晚于文艺复兴时期。当时意大利的一些城市已开展了商业保险，这自然需要研究偶然事故。16～17 世纪间，著名的科学家伽利略（Galileo）、帕斯卡（Pascal）、费马（Fermat）以及伯努利（J. Bernoulli）等人，都在概率论方面做过工作。英国的哈雷（Halley），他是预言哈雷彗星回转周期的著名天文学家，曾于 1693 年，研究如何根据死亡率表来计算寿命的保险费。

推动科学发展的强大动力是社会实践的需要，概率论也不例外。有人认为，概率论起源于对赌博的研究，这至少是不全面的。赌博绝不是推动概率论发展的重要因素。不错，在概率论早期文献中，有过一些著名的赌博问题。例如，17 世纪梅耳（Mere）根据自己长期的经验，认为扔一粒骰子 4 次中至少出现一个 6 的机会，要比扔两粒骰子 24 次中至少出现一对 6 的机会更大一些。他向数学家帕斯卡请教，问这是否正确。今天我们知道，前者的概率为 1-(5/6)^4 = 0.5177 ，后者的概率为 1-(35/36)^24 = 0.4914 ，故梅耳的猜想是对的。但前者比后者只大那么一点点，不用计算，光靠经验，要判断谁大谁小，确不容易。由此可见此人赌史之长与赌道之精了。尽管如此，赌博只是少数人的灰暗行为，绝不会成为推动概率论发展的动力。

1700 年前后，出现了两本重要的著作。一是 1713 年出版的瑞士的 J·伯努利写的《猜测的艺术》。书中第一次陈述了一个带普遍性的定理（即频率收敛于概率的定理），使概率论开始从“单个问题、具体解决”的局面下解脱出来，而成为一般理论。另一本叫《机遇原理》，于 1718 年、1738 年、1756 年出了 3 版，作者是法国人棣莫弗（de Moirve）。书中叙述了一般的概率乘法公式，并提出了正态分布。此后，概率论在人口统计和保险事业中得到了更多的应用。

1777 年，法国人蒲丰（Buffon）在他的论文《偶然性的算术尝试》中，把概率与几何结合起来，开始了几何概率的研究。著名的“蒲丰投针”问题至今仍在教科书中出现，此题如下：



平面上画有等距离为 d（d＞0）的一些平行线，向平面任意投一长为 L（L＜d）的针，试求针与某平行线相交的概率 p ，答案是 p = 2L/(πd) 。

这问题之所以特别重要，除上述原因外，还因为可以把上式反过来，用实验方法以求圆周率 π ：

    π = 2L/(pd) ≈ 2L/(fd) 。

其中 f 是向平面投针 n 次中，与平行线相交（设其次数为 m ）的频率，即 f = m/n 。

因此，我们可以用实验求出 f ，从而近似地求出 π 。大家知道，π  是一无理数，一些著名数学家如祖冲之等为计算 π 而耗费了许多精力，而今居然可以通过实验来近似求得它，可说是数学上的一个创举。


蒲丰（Buffon，1707～1788）法国数学家、自然科学家，以投针与掷硬币实验而闻名。

尽管这件事是后人在蒲丰工作的基础上完成的，我们仍然不能不承认，蒲丰问题是目前正在蓬勃发展的概率计算方法的前导。

19 世纪初，拉普拉斯（Laplace）发表了他的巨著《概率的分析理论》，并以此书献给拿破仑。书中不仅总结了 18 世纪的一些重要研究成果，而且建立了一套完整的理论体系；此外，还叙述了理论的许多应用。它的不足之处是，对理论的基础，即概率的定义，缺乏深入的探讨，只是企图把任何一个概率问题，勉强纳入简单的等可能模型。

随后，概率论被应用到更广泛的领域中。高斯（Gauss）与拉普拉斯用它来分析物理与天文数据的误差，建立了一般的“误差理论”。麦克斯韦（Maxwell）、玻耳兹曼（Boltzmann）与吉布斯（Gibbs）等人则用它来研究分子运动、统计力学等。

概率论应用的范围越广，人们就越发现它的基础不牢固。等可能的概率定义远不能满足实际的需要，于是 20 世纪初，许多人便致力于改进概率的定义。这一工作最后由苏联数学家柯尔莫哥洛夫（A. H. Колмогоров）完成。1936 年，他出版了《概率论的基本概念》，其中建立了概率论的公理化体系，从而使它获得了坚实的理论基础。

现代概率论的硏究

古典概率论所研究的，主要是事件的概率及有限多个随机变量的分布。在数学中，偶然性也叫做随机性。所谓随机变量，是指随着各种可能情况而变化的变量。现代概率论则主要研究无穷多个随机变量的集合，或简称为随机过程。

例如，以 ξ(t) 表示某地第 t 年的降水量，则 {ξ(t)} 构成一随机过程，t=1,2,…。根据概率性质不同，可将随机过程分类。目前研究得较多的有：马尔可夫过程、平稳过程、鞅（Martingale）、正态过程、点过程等。

将随机过程研究与其他学科相结合，便得到一些新的边沿分支。例如，分别与微分方程、数理统计、数论、几何、计算数学等相结合，便出现了随机微分过程、过程统计、数论中的概率方法、几何概率、计算概率等新分支。

至于研究方向，除了历史较久的极限定理以外，后来还出现了：主要由法国学派开创的随机过程的一般理论，鞅的现代理论，来源于统计力学的、由无穷多个质点所构成的随机场的理论，点过程的现代理论，马尔可夫过程与位势论等。


学习概率论的三部曲：《概率论基础及其应用》入门，《随机过程论》专业化，《生灭过程与马尔科夫链》初入科研领域。直到今天，王梓坤院士的这三部书仍然堪称经典。

概率论的应用

基本理论与实际应用是相互促进的。由于偶然性几乎无处不在，因而现代概率论的应用也几乎伸展到每一领域。

一，在经济建设中的应用

经常碰到的问题之一是合理设计和最优化：既要满足规格要求，又要符合节约原则，因而必须充分、但又不能过分地考虑到各种因素（其中包括随机因素）的影响。

例如，在桥梁设计中，必须研究河流最大洪水量的分布，这就是一个典型的概率问题。另一个经常碰到的问题是预报，包括气象、降水、地震、病虫害以及人口预报等。在这一类问题中，概率统计方法也能起到一定的作用。至于在产品的实验设计、质量控制、抽样检查，以及经济数学、排队论、运筹学中广泛使用概率方法，更是久经考验行之有效的了。

二，在自然科学中的应用

人们在研究物质的微观现象时，由于粒子（如分子等）的数量极其巨大，不可能追踪每个粒子单独的运动，必须采取概率的方法来作整体的考察，于是产生了统计力学。随后发展起来的量子力学，更加离不开概率的思想。人们发现，偶然现象在微观世界中，比在宏观世界中更为普遍。许多卓越的物理学家都曾用过概率论的思想和方法，例如爱因斯坦研究布朗运动是众所周知的。

在其他自然科学中，概率论也日益显示其重要性。如生物学中研究遗传、群体增长、疾病传染；化学中的反应动力学、高分子的统计性质；天文学中研究银河亮度起伏以及星系的空间结构等问题，都需要概率论作为数学工具或提供随机模型。


王梓坤

三，在先进技术和国防中的应用

现代自动控制需要考虑随机的干扰，因而利用随机微分方程来描写状态的转移，这时概率论成为必不可少的有力工具。在通信技术中，为了排除随机噪声而发展了滤波的理论，并建立了一般的数学信息论。在核反应堆中，人们利用随机模型来研究中子的减速过程。

第二次世界大战以后，为了加强指挥的能力和部队间的协作，为了充分发挥武器的作用和制订合理的战斗策略，一门新的学科“军事运筹学”得到了迅速的发展。随机搜索、射击模拟等都是重要的研究课题。我们举一个例子来说明射击模拟的思想。



以上简述了概率的理论和应用，当然远非全面。我国对概率论的研究虽然历史很短，但由于广大科研和教学人员的共同努力，在理论和应用两方面都取得了可喜的成绩。今后，概率论必能更有效地为我国四个现代化服务，并在实践中得到更大更快的发展。