费马大定理的证明

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费马大定理的证明



Rachel｜文

小聪｜译

深浅｜校

“我想就停在这里吧。”就这样，在 1993 年 6 月 23 日，安德鲁·怀尔斯结束了他的系列讲座，报告厅里顿时掌声雷动。怀尔斯刚刚宣布他证明了一个困扰了数学家 350 年的难题：费马大定理的证明。

潦草的批注

费马大定理的形式为：



其中 n 是自然数。那么是否存在非零自然数 x,y,z 满足这个方程？当时，答案是肯定的，事实上存在无穷个这样的三元组，称为勾股数，因为这样的数组满足直角三角形的勾股定理。

17 世纪的数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）认为，当指数 n＞2 的时候，上述方程不存在整数解。1637 年他在一本数学书的空白处写道，他找到了一种极好的证明方法，可惜页边太窄了写不下。这些潦草的标注嘲弄了数学家很长时间——怀尔斯就是其中之一。

“我第一次看到费马大定理是在一本书的封面上，当时我大概十岁。”怀尔斯说道，现在他是牛津大学数学系的教授。“我被这个问题背后浪漫的故事吸引住了，所以我在少年时期，甚至在大学里花了很长时间尝试解决它。但是当我成为一名专业数学家之后，我意识到不应该把这件事当成一个工作，因为可能得不到任何结果。”

然而，在 20 世纪 80 年代中期，数学家弗雷（Gerhard Frey），塞尔（Jean-Pierre Serre）和里贝特（Ken Ribet）的工作提供了一种解决费马大定理的新方法。这种方法表明，如果你能证明另一个被称为模猜想（也被称为谷山-志村-韦尔猜想）的命题，那么你也就自动证明了费马大定理。

“第一次听到这个消息时我是持怀疑态度的，但是当里贝特证明了二者之间的联系的时候，我完全被吸引住了，我立刻放下一切事情，直接转向对费马大定理的研究。”怀尔斯说道。他独自一人默默无闻地研究这个问题长达七年时间，这对数学家来说是很不寻常的。“很少有人愿意在一个问题上花费这么长时间，真正致力于解决一个问题需要一定的个性。刚开始我还会稍微提一下我在做的事情，但是后来我发现，当我说我在做这件事的时候会得到很多意想不到的关注，就很难保持平静，因此我觉得不动声色地做这件事是更明智的。”

激动人心的氛围

怀尔斯最终证明了模块化猜想，在足够普适的假定下证明费马大定理也是正确的。1993 年 6 月 23 日，他公开了他的证明。他是在一系列会议结束时公布的，没有人知道这是他特意准备的。

来自剑桥大学的科尔纳（Tom Korner）有幸参与了这次报告，他说道，“各种消息不胫而走，我不知道人们是真的知道，或者仅仅是猜测。因此我问安德鲁的学生如果我错过这场报告，我是否会感到遗憾，他回答，是的。现场的气氛太令人激动了。”

“在报告的最后，安德鲁写下了费马大定理的内容，并表明了他所做的工作足以证明它。现场响起了热烈的掌声。然后专家们站起来提出了问题，这些问题表明，尽管证明的细节还有待彻底核实，但这是一种非常合理的解决问题的方法。这也是一种新方法。所以无论成功与否，它都为数学增添了大量内容。”

怀尔斯回忆说：“一方面，我对展示（结果）感到非常激动，但另一方面，第一次（分享我的工作）总是会感到紧张。你已经思考这个问题（很长时间）了，很多都是你自己想的，所以你希望你没有犯简单的错误。我知道人们想知道细节，但他们至少可以看到这是一种全新的方法，它将证明很多东西——尽管它的细节还有待核实。”

事实证明对细节的要求是有意义的：原来的证明中有一个漏洞，怀尔斯和数学家理查德·泰勒（Richard Taylor，怀尔斯以前在普林斯顿大学的博士生）花了将近一年的时间来修复这个漏洞。但最终，在 1994 年，由一本书页边空白处潦草的注释所引发的历经几个世纪的问题终于得到了解决。

数学的未来

你可能会认为，当一个历时很久的问题最终得到解决时，数学领域的一扇大门也就随之关闭了。但这种情况很少发生，因为解决一个问题常常会引出一系列新的问题。怀尔斯说，费马大定理在过去引发了两个时期的巨大进步： 一个是在 19 世纪，在试图证明费马大定理的过程中奠定了怀尔斯在数学领域的基础，另一个是在 20 世纪 80 年代，怀尔斯最终证明了费马大定理。

怀尔斯说，这个证明本身开创了一个新的领域，“它在模块化处理方面打开了另一扇门，这些模块化处理的问题本身开辟了一个新的领域，叫做朗兰兹纲领（Langlands programme）——这就是数学的未来。”

即使是向专业的人解释朗兰兹纲领也很难，只能说它是由罗伯特·朗兰兹在 20 世纪 60 年代提出的一系列影响深远的猜想组成的，这些猜想建立了不同数学领域之间极其惊人的联系。许多人认为证明所有这些猜想是现代数学最伟大的工程。

朗兰兹纲领吸引了数学领域一些最顶尖的头脑，来自剑桥大学的索恩就是其中之一。当年怀尔斯宣布费马大定理的证明时，索恩只有 6 岁，后来在他做数学A级考试的时候对这个结果产生了兴趣。

“我发现这很有趣，因为做 A 级数学可以学习如何做一些特定类型的计算，比如怎么平衡一根棒两端的小球之类的。”索恩说，“但是这是我第一次发现一个人类的故事和一个数学问题联系在一起，这不是一个人的故事，而是几个世纪以来人们都互相讨论的故事。”

尽管很年轻，但是索恩已经是他所在领域的一个专家。他获得了很多奖励，包括很有声望的数学新视野奖，2020 年，索恩当选英国皇家学会最年轻的会员。索恩从事朗兰兹纲领的研究，尤其是在数论和模型式的关联方面。他解释说：“这是两个世界，从先验的角度来看，我们不清楚他们是否有关联，但是他们以一种神秘的方式联系在一起，就像有一根隐藏的电话线。”

朗兰兹纲领提供了解决数论问题的新工具，索恩使用这些工具来考虑类似于费马大定理的方程，但更一般一些：不要求方程中所有的系数都是整数。你可以思考一下如果系数来自更大的数域，例如包含无理数 √2 的数域，结果会是什么？索恩说，对于某些类似的方程，该理论可以很好地推广，但要进一步推动这一领域，还需要做很多工作。怀尔斯也认为，利用朗兰兹纲领提供的工具，将我们的算法理论扩展到更一般的数域，是未来最重要的挑战之一。

因此，虽然怀尔斯的证明解决了一个简单到连高中生都能理解的问题，但它打开了一扇通往一个新的更深数学领域的大门，这个领域在未来十年左右会有惊人的进展，而像索恩这样的数学家很可能在其中发挥引领作用。

关键的时刻

30 年前的那一刻显然是怀尔斯职业生涯的转折点。他是为数不多的在数学之外很有知名度的数学家之一，并于 2000 年被授予爵士爵位。在数学领域，他获得了许多荣誉和奖项，包括 2016 年享有盛誉的阿贝尔奖。

我很高兴能和这些数学家们一起重温这一刻，听他们讲述人类的故事，同时也是数学的故事。早在 2016 年，怀尔斯就告诉我们，数学家必须具备的一些个人品质——他们必须有创造力，必须能够坦然接受工作中遇到的瓶颈。当我们为这篇文章采访他时，永不言弃的精神再次成为这个故事的主线。我们的最后一个问题是，假如在 90 年代初没有找到费马大定理的解，他是否还会继续研究下去。他的回答是典型的他研究数学的风格：“我不是一个轻言放弃的人。”

原文链接：  https：//plus.maths.org/content/very-old-problem-turns-30

本文原载于“中科院物理所”公众号，译自 plus.maths.org 。“数学大院”编辑整理。

来源：数学大院

作者：Rachel 数学大院 2024-04-14 06：01 北京

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