欧拉的数学遗产——从巴塞尔问题到黎曼 ζ 函数

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欧拉的数学遗产——从巴塞尔问题到黎曼 ζ 函数

原创 围城里的猫 MathSpark 2024-04-08 08:02 陕西



这是一个关于历史上最伟大的数学家之一的故事，以及围绕他的数学遗产的神秘和美丽的记录，我们有机会对对他的工作的态度将既包括结果、历史评论，也包括一路上的一些好奇心，做出整理，这让我们有一种永恒的感觉，一睹数学的优雅之美、艺术之美和永恒的真理之美。

我们尝试将故事、事实和易于理解的数学证明详细地融合在一起，以便给大家留下良好的感觉和更多学习上的好奇心，这里列出的数学结果显然是经过精挑细选的，但是我们也没有办法详尽，因为欧拉实在是太高产了，据估计，十八世纪的数学著作中几乎有三分之一是由欧拉写的！好了让我们开始这段旅程吧。

早期生活

欧拉于 1707 年 4 月 15 日出生于巴塞尔。他的父亲是当时被认为是世界上最好的数学家之一的约翰伯努利的好朋友（关于伯努利家族的故事，可以参考伯努利家族的天才，伯努利对伯努利。)约翰在未来的岁月里影响了年轻的欧拉。1723 年欧拉获得了哲学（当时的科学）硕士学位，尽管他也在学习神学。在那段时期，欧拉利用周六下午的时间向约翰·伯努利本人学习。约翰很快发现欧拉的数学天赋，并说服他的父亲，欧拉应该追求数学而不是神学。

1727 年，年轻的莱昂哈德参加了巴黎学院有奖问题竞赛。那年的问题是如何最好地在船上放置桅杆。欧拉在比赛中名列第二，仅次于皮埃尔·布格(又名造船学之父)。而当时欧拉从未见过船！后来，他又赢得了 12 次比赛。大约在那个时期，他试图在巴塞尔大学获得一个职位，但被拒绝了（这当然是大学的一个巨大错误）。与此同时，约翰的儿子丹尼尔·伯努利在圣彼得堡科学院工作，为欧拉在那里谋得了一个职位。

走向无限

17 世纪中叶，数学界提出了一个挑战：求出以下“无穷和”的精确值（数学家将这种野兽称为级数）



现在我们当然知道，计算的项越多，这个级数就越接近某个值（约 1.644934）。这在数学被称为收敛，当时的数学家也知道这个级数是收敛的。但困难的部分是找到它的所谓“封闭式表达”。此时，你可能会想：无限求和？这根本没有任何意义......嗯，形式上无限级数不是一个和，更准确地说它是一个极限。

现在想象一下，你必须粉刷一堵墙。第一天，你粉刷了一半的墙，第二天你粉刷了剩下的一半，即四分之一，依此类推。现在，两个重要的事实自然而然地出现了。

1. 你粉刷的面积不可能超过墙壁的面积。

2. 你总可以粉刷剩下的一半。

然后你可以争辩说，如果你有无限多的天以这种方式粉刷墙壁，那么当你达到无限时，你就会把它全部粉刷完！这就是级数收敛的奥秘。如果你明白了，那么你也理解了那个无限求和究竟在干什么，让我们继续，因为我们有一个非常著名的级数要计算！

当时的著名数学家，包括伯努利兄弟和莱布尼茨，都曾试图解决巴塞尔问题（欧拉是如何解决巴塞尔问题的）但没有人能找到这个无穷级数的倒数平方的真正值。在我向你提供欧拉解决这个问题的方法之前，我们需要一些背景知识。欧拉的许多证明都涉及无穷级数。特别是，一种被称为泰勒级数的幂级数会时不时地出现，所以我认为我们最好回顾一下它是什么。

麦克劳林级数

首先，如果到现在为止你不知道幂级数是什么，那么你可以将其视为无限多项式，即：



现在假设你有一个函数 f 。即使你的函数不是幂级数，你也可以考虑我们如何用幂级数来近似它（这方面的内容，可以参考斯通魏尔斯特拉斯定理）



让我们假设你的函数实际上可以写成幂级数。我们需要做的就是找到这个幂级数前面无限个的系数，你稍微思考一下，很快便会意识到如果令 x=0 ,那么你很快就会得到常数项，并且因为：



如果对幂级数求微分并设置 x=0 ，则得到线性系数，如果对其求两次求微分，除以 2 并设置 x=0 ，则得到二次系数，依此类推。你需要除以 n！ 当您提取第 n 个系数时，因为每次微分时都会乘以递减的幂。你现在已经发现了 f 的可能幂级数的第 n 个系数的通用公式。事实上，很多函数都可以用这种方式表示。更简洁的表示法如下：



其中分子中的符号表示 f 微分 n 次，希腊字母 Σ（称为 sigma ）表示 n 从 0 到无穷大的总和。这称为函数 f 的麦克劳林级数展开（因为近似中心为 0 )。当然如果近似中心不是 0 的话，这种更通用的级数被称为泰勒级数，但它是相同的想法。

这里我们只需要了解麦克劳林级数即可。令人惊奇的是，当这个级数收敛时，它实际上等于 f 。现在我们准备看看欧拉是怎么解决巴塞尔问题的，1734 年，欧拉给出了巴塞尔问题的解。

欧拉对巴塞尔问题的解决方案（1734）

首先，他回顾了正弦函数的麦克劳林级数展开式。事实证明，正弦函数（是的，高中三角函数噩梦与圆和直角三角形有关）可以写成幂级数。



然后他除以 x 得到：



当然，如果欧拉的证明没有天才的创造性火花，他就不会是欧拉。证明的下一步他就给了你这个。欧拉认为，上式的左边可以看作是一个无限多项式，我们都知道多项式可以分解为以下形式的线性因子的乘积：



其中 c 是某个数字，上面分母中的 r 是多项式的根（也称为零）。任何多项式都可以写成这样，这个事实被称为代数基本定理，是一个非常重要的结果。



欧拉认为，这个定理对于一些“无限”多项式（如上面的幂级数）也成立。如果大家愿意相信这一点，我们就继续吧。由于 sinx/x 常数项为 1 ，因此显然 c=1 。我们现在有:



欧拉问自己这个函数的零点是什么，当然，它们是正弦函数的零点，而且是 π 的整数倍。所以:



第二个等式来自平方差公式。现在需要另一个绝妙的想法。欧拉当然认识到隐藏在上述二次项分母中的平方数，并希望将它们从乘积中“解放出来”。还有什么比简单地乘以这个无限乘积更好的方法呢？这听起来很可怕，但我们实际上只需要得到多项式的前两项，然后我们得到：



现在欧拉将其与一开始的泰勒表达式进行比较。即：



如果这两个表达式为真，那么右侧作为函数也必须相等，即：



或者用另一种方式表述：



这就是欧拉对巴塞尔问题的解决方案，数学家将其写成更紧凑的形式：



这个非凡的结果让欧拉一举成名，但这有什么大不了的呢？嗯，首先，近一个世纪以来，它一直挑战着所有最好的数学家，但事实还不仅如此。如果你看一下上面恒等式的两侧，那么你可能会注意到，左边是整数的平方倒数，但右边是一个涉及数字 π 的表达式，当然它是任何圆的周长与其直径比值。

所以，在左边，我们有一个包含所有自然数倒数平方的表达式，而在右边是一个包含关于圆的信息的表达式。这确实是出人意料的。其背后的几何原因也很有趣，可以通过一些三角形的定律以及一个事实来解释：一个无限大的圆（我们在这里应该考虑一个极限，但这样说听起来更好）在某一点附近的邻域内是线性的。

当然，欧拉没有止步于此。他计算了倒数四次方、倒数六次方等的和，并为这些幂是偶数制定了一个通用的公式。然而他无法为任何奇数幂找到一个封闭形式的表达式。直到今天，这仍然是一个未解之谜。例如，没有人知道倒数立方和的真实值。

在上述证明中，有一个小细节你可能已经思考过。那就是，这个证明依赖于一个命题，即正弦函数可以写成其零点上的一个无限乘积。这一点绝非显而易见，实际上确实需要一个数学论证。

正确的论证最终伴随着一些复分析的丰富理论，在大约一百年后由数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（1815-1897）提出。但事实上，欧拉的直觉是正确的，即许多函数都具有这个属性，这当然包括正弦函数。

两个世界之间的桥梁

欧拉对这些有趣的级数的研究并未结束，为了将问题推广，他定义了以下实值函数：



通过所谓的 p 级数判别法，我们知道这个函数仅在 s＞1 时有意义（收敛），否则该级数会发散。注意到在 s=2 的特殊情况下，我们得到了上一节中提到的巴塞尔问题。随后，欧拉找到并证明了另一个以他的名字命名的好东西——欧拉乘积，即：



其中左侧的求和是对所有自然数进行，而右侧的乘积是对所有质数进行。这适用于所有实数 s＞1 。引入连加和连乘符号可以更简洁地表达：



在这里我们不提供这个命题的证明，但证明并不困难。你只需一点点算术基本定理的知识加上一点初等的手段就可以完成：



算术基本定理最初由希腊人发现，但 2000 年后，欧拉利用它获得了这个结果，这开启了解析数论的领域大门，所谓解析数论基本上就是利用实复分析的工具来研究整数。这个函数连同其欧拉乘积，就像是加法世界和乘法世界之间的转化的字典一般。这个函数能在两个世界中表达，使它非常有趣，人们可能会认为可以用它将一个宇宙的知识翻译到另一个宇宙，反之亦然。稍后再详细讨论这一点。

另一个出乎意料的好结果是，这也是证明存在无穷多个质数的另一个证据，因为如果我们让 s→1，那么左侧会趋于调和级数并发散，因为等式成立，因此右侧也必须趋向于无穷大。但这只有在存在无穷多个质数时才成立。如果质数是有限的，那么右侧的乘积就不会发散。

当然这只是质数有无限多个的另一个证明（相关的证明可以参考：Furstenberg's 关于素数无限的拓扑证明，欧几里得关于素数有无穷多个的证明）第一个要归功于欧几里得。然而，这个证明的惊人之处在于，它与欧几里得的证明截然不同。欧拉使用了分析中的极限和函数，而欧几里得使用了一种反证法，主要思路是通过给定一定数量的质数，我们总可以生成另外一个完全不同的质数。

欧拉一生都在研究这个函数，用许多不同的方法证明了巴塞尔问题。正如上面提到的，他通过这个有趣的函数发现了乘法世界和加法世界之间的关系，他显然认为这很重要，但直到大约 100 年后另一位天才揭示了这个函数真正的重要性和有趣之处。如今这个函数以他的名字命名，被称为黎曼 ζ 函数（如果将其视为复变量的复函数）以纪念伯恩哈德·黎曼。



事实证明，其他函数（如 L 函数）也有欧拉乘积，这些函数表现出与 ζ 函数相似的行为，但这已经超出了我的知识范围了，黎曼 ζ 函数本身就值得写一整篇文章，它是一个非常有趣的研究对象。这个函数围绕着神秘，与之相关的有一个伟大的问题——所谓的黎曼猜想。

如果你证明了这个猜想，你不仅会获得一百万美元的奖金，你还会像我们记住阿基米德、欧几里得、欧拉和高斯一样，被大家永远记住，这个问题是在说，如果将欧拉的 ζ 函数视为复变量的函数，并进行所谓的解析延拓，以便我们可以在实部小于 1 的复数上定义它，那么该函数有零点（它映射到零的数）。这就是所谓的黎曼 ζ 函数。重要的是要注意，如果将其限制在大于 1 的实数上，这个函数与欧拉的 ζ 函数相同。当研究这些零点时，发现零点似乎整齐地位于两条直线上。一部分零点规律地位于实数线上的负偶整数 -2 , -4 , -6 , … 。这已被证明。

另一部分零点似乎都不规则地位于复平面上的一条垂直线上。在 Re(s)=1/2 的线上。黎曼猜想就是要证明所有非平凡的零点都位于这条线上。我们如此渴望证明这一结果的原因是，黎曼猜想对质数的分布说了一些非常具体的事情，而欧拉没有考虑这一点，因为在他的时代复分析还没有真正发展起来，但如果他活在 1859 年黎曼关于这一主题的论文出现时，他肯定会认识到黎曼工作的美。

最后我们用高斯的一句话来结束这期推送：“研究欧拉的作品将始终是数学各个领域最好的学校，没有什么能取代它。”



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