《分子尺寸的新测定》——爱因斯坦的博士论文

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《分子尺寸的新测定》——爱因斯坦的博士论文

作者 围城里的猫 MathSpark 2024-03-22 08:01 陕西

爱因斯坦在 1905 年在苏黎世大学的实验物理学家阿尔弗雷德·克莱纳教授的指导下完成了他的博士论文，并以《分子尺寸的新测定》为题获得了博士学位。这所学院并不是爱因斯坦之前获得学位的机构，他之前的学位是在苏黎世联邦理工学院（ETH）获得的，而在那个时期 ETH 并没有授予博士学位的权限。

1905 年也被誉为爱因斯坦的“奇迹年”。在这一年，他成功发表了四篇开创性的研究论文，这些论文彻底改变了物理学的面貌。其中一篇论文讨论了光电效应，这项工作最终使他在 1921 年获得了诺贝尔物理学奖。其他三篇分别关于布朗运动、狭义相对论以及介绍了质能等价（E=mc^2）的论文。

这些成就使他在如此年轻的时候就获得了学术界的广泛关注。此外，他的第五篇论文成为了他的博士论文。前四篇研究论文获得了广泛的关注，但不幸的是，他的博士论文在最初几年并未受到相应的重视。因此，这期推送就是来介绍他的博士论文。



他的博士的论文于 1905 年 4 月 30 日在伯尔尼印刷。关于他的论文有一个有趣的事实，那就是它只有 24 页的计算内容，对于今天的博士学位来说，这显得过于简短。

在他的研究中，他试图探索一种新的理论方法来计算分子的大小/半径。此外，他还通过糖溶于水的溶液的粘度数据和实验性扩散率，提出了阿伏伽德罗数的数值。尽管最初的估计值与实际值相差近 3 倍，但经过几次尝试后，他得到的数值更接近于现在已知的值。

爱因斯坦选择将他的工作献给他的密友马塞尔·格罗斯曼。马塞尔是一位技艺高超的数学家，在爱因斯坦缺课时为他提供课程笔记，对他的学习提供了很大帮助。此外，马塞尔还在他父亲的帮助下推荐爱因斯坦在专利局的工作。爱因斯坦非常感激他，因为马塞尔作为一个真正的朋友，在他困难时期给予了他全面的帮助。



论文的主要部分涉及流体动力学以及粘度系数之间的关系。为了进行计算，爱因斯坦考虑了均匀不可压缩流体的稳定流动。通过忽略加速度的影响，他使用纳维-斯托克斯方程来描述流体的运动，该方程如下所示。



其中 ν、p 和 η 分别代表流体的速度、静压和粘度。紧接着爱因斯坦考虑在液体中悬浮大量相同的球形颗粒。颗粒的总体积被设定为小于流体的体积。然后，他做了几个合适的假设：没有外力影响，颗粒不受其他颗粒运动的影响，流体动力学应力仅适用于颗粒的表面，以及在颗粒表面流速的边界条件被设为零。

爱因斯坦指出，即使在这些条件下，流体的流动仍可用上述方程描述，但 η 的值需要更改。它被一个称为“有效粘度”η* 的新因子所替代，这个新因子是这样给出的。



这里的‘φ’代表球形颗粒占据的单位体积的比例。随后，他利用了以下关系：



这个关系式将 N 和 a 联系起来。这里的‘N’是阿伏伽德罗常数，‘a’是分子的半径，‘m’是分子的质量，而‘ρ’是每单位体积溶质的质量（密度）。之后爱因斯坦又利用了一些可用的数据。即：

“一克糖溶解在水中对粘度系数的影响，等同于总体积为 0.98 立方厘米的小型悬浮刚性球体的影响。”

他利用范特霍夫关于渗透压的定律和斯托克斯关于颗粒移动性的定律，提出了一个关于悬浮球形颗粒扩散常数的惊人公式。然后，他将这些结果应用于糖溶解在水中的溶液，并成功得到了接近阿伏伽德罗数的值和糖分子半径的估计。

几年后的 1909 年，一位法国物理学家让·佩兰独立估计了一个与阿伏伽德罗数大不相同的值，这是通过仔细评估布朗运动得出的。爱因斯坦随后向佩兰介绍了他的流体动力学方法。佩兰的一位学生雅克·班塞林仔细检查了爱因斯坦的计算，并指出了他粘度公式中的一个不一致之处。

1910 年 12 月 27 日，爱因斯坦联系了他在苏黎世的前合作者路德维希·霍普，并告诉他这个困惑。他写道：“我已经重新检查了我之前的计算和论证，并没有发现错误。如果你能仔细重新检查我的研究，将会为此事做出巨大贡献。要么工作中存在错误，要么佩兰悬浮物质的体积大于佩兰所认为的。”

霍普也指出了微分技术中的一个错误。爱因斯坦随后意识到并修改了他的论文工作。1911 年，他在保罗·德鲁德（安纳伦物理学报的编辑）的协助下通过一篇杂志文章发布了他论文的更正。在这次修改中，爱因斯坦写了 18 页的计算，并估算出阿伏伽德罗数为 N = 4.15×10^23。

几年后，爱因斯坦的第二次尝试因实验工作的结果而再次被证明错误，误差因子接近 1.5 。爱因斯坦在一位朋友的帮助下，利用更好的糖溶液数据进行了第三次更正尝试。这次，他得到的值是 N = 6.56×10^23 ，这个结果还算不错。

现在有其他准确的技术可以推导出目前已知的阿伏伽德罗数值，即 N = 6.022×10^23 。此外，现代糖溶液的实验数据也极好地提供了相同的值。

他后来写信给佩兰：“对我而言，精确确定分子的大小极为重要，因为通过这样的确定比通过对辐射的测量，普朗克的辐射公式可以得到更精确的检验。”



他的博士论文指导老师克莱纳博士是两位评审教授之一，他从积极的角度评价了爱因斯坦的工作。他评论道：“要进行的论证和计算是流体动力学中最困难的部分之一，只有具备敏锐洞察力和善于处理数学物理问题的人才敢于挑战它们，我认为爱因斯坦先生已经证明了他能够成功地从事科学问题的研究。因此，我建议接受这篇论文。”

随后，克莱纳博士寻求了他的同事海因里希·布尔克哈特（一位大学的数学教授）的另一位专家评审。他表示：“处理方式展现了对相关数学方法的基本掌握。我所检查的部分，没有发现任何错误。”

在卡尔·塞利格撰写的《阿尔伯特·爱因斯坦：一部纪录传记》中，有这样一段描述：“爱因斯坦后来笑着回忆说，他的博士论文最初被克莱纳退回，理由是篇幅太短。在他增加了一句话之后，论文就接受了。”

从爱因斯坦写给他妻子米列娃·马里奇的一些信件中，可以推断出爱因斯坦与克莱纳教授讨论了很多次，此外，爱因斯坦在四年前，大概在 1901 年，试图提交他的博士论文副本，但由于内容不明确且不完整，这份副本并未被保留下来。

随后，爱因斯坦在三个月后撤回了他的博士论文。之后，他不知何故失去了完成博士学位的动力。他曾悲伤地写给他最好的朋友米歇尔·贝索：“这对我帮助不大，整个喜剧对我来说变得乏味了”。但值得欣赏的是，到了次年，他似乎改变了主意。

因此，可以准确地说，爱因斯坦因其论文《分子尺寸的新测定》获得了博士学位。这篇论文的修订版本非常受欢迎，成为他被引用次数最多的研究论文之一。这项研究被发现比爱因斯坦的任何其他工作都有更广泛的实际应用。除了他在论文中得出的一些基本结果外，还有其他原因使这篇论文被视为不同寻常。



引用研究，是科学引用的重要模式。在 1961 年到 1975 年间，爱因斯坦的四篇文章被引用最多，其中他的博士论文，排在第一位。这相当于他关于广义相对论的论文被引用次数的四倍，后者使他声名鹊起。布朗运动论文排在第三位。

因此，即使是阿尔伯特·爱因斯坦的博士论文并非完美，但全球所有努力的研究生都是一种鼓励。虽然我们很难奢望他们成为爱因斯坦那样全球闻名的科学家，也很难奢望他们的论文有任何实际用处，好吧，写到这里我也实在找不到什么理由来为他们的研究做一点有意义的辩解了，只能期望他们是下一个爱因斯坦了，就到这里吧，开脱不下去了。