这 3 个几何问题看似简单，但困惑数学界几千年，而且让数学巨匠们也束手无策！

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这 3 个几何问题看似简单，但困惑数学界几千年，而且让数学巨匠们也束手无策！

原创 Masir123 科学羊 2024-03-18 07:23 广东

大家好，我是科学羊，这里是数学专栏第 3 季第 19 篇，本季度的数学篇最终定稿为 20 篇，还剩一篇我们就先告一段落啦～

今天我们再来谈谈伽罗瓦以及他的数学故事！

其实在科学的发展中，一直会出现两个正反问题，也就是一个问题，会对应一个答案，然后答案又衍生出另一个问题。

当然，问题最终都会被解决，只是时间问题。而问题的解决以及如何解决其实应该是我们应该去探索的地方，这正是智慧的来源。

好，我们来看看，今天要谈的这几个问题主要来源于几何学。

01

在几何学中，有几个古典的难题，都是作图题。

这几个问题看似容易，但是几千年也没有人能解决，就算以高斯、柯西等人的天才，对它们也是无能为力。

可最后，19 世纪的两位法国天才少年却发明了一种数学工具，让这些问题瞬间得到解决。

这几个问题主要包括：

1、将任意给定的角平均分成三等份；

2、构造一个体积是另一个已知立方体两倍的新立方体（倍立方问题）；

3、以及构造一个与给定正方形面积相等的圆形，或反之（方圆问题）。



这些问题的共同点在于，解答它们仅允许使用圆规和直尺这两种工具。



在我们之前的学习中，你可能已经察觉到后两个问题之间的相似之处：它们都包含了到圆规+直尺计算出的某个无理数长度，这就对应了立方根 2 和圆周率 π 。



如果能够构造出这些特定长度，那么这两个难题自然迎刃而解；

反之，若能证明这是不可能的，则等同于解决了这些问题。

对于第一个问题，如果你已经学习了三角函数，就会发现其实质上是求出任意角度的三分之一所对应的三角函数值，这本身并不复杂。

然而，这个问题的解涉及到立方根，因此与第二个问题类似，它也是关于如何仅用圆规和直尺作出立方根的难题。

数学家们数百年来一直在尝试使用圆规和直尺解决这些问题，但由于缺乏统一的解题方法，是否能找到答案往往取决于个人的经验和运气。即便偶尔有人发现了某个问题的解法，这些特定的技巧也难以推广应用于其他问题。


图片来自得到 app

例如，高斯成功构造了正十七边形，这一成就归功于他的聪明才智和好运，因为正十七边形的边长仅涉及平方根，而非立方根或更高次的根。

由于毕达哥拉斯定理的保证，任何自然数的平方根都可以用圆规和直尺作出。

然而，19 世纪之前，数学界缺乏系统的几何作图工具，因此这些问题长期被视为孤立的挑战。

直到伽罗瓦和阿贝尔这两位不世出的天才登场，他们的工作彻底改变了数学界对这些难题的理解。

02

伽罗瓦——群论的基础——为近代数学铺就了新的道路。

伽罗瓦的贡献远不止于解决了这三大古典难题，他的理论证明了五次方程以上没有解析解，以及哪些正多边形可以用圆规和直尺构造。

他的工作不仅为数学提供了新的工具，也深刻影响了后来的科学研究，包括怀尔斯对费马大定理的证明。

之前文章已经聊过他在 21 年生命里，埃瓦里斯特·伽罗瓦以其非凡的智力和对数学的深刻洞察，开辟了近代数学的一条新径——群论。

生于 1811 年，却在 1832 年就结束了自己的生命旅程，伽罗瓦的故事充满了天才的光芒与悲剧的色彩。

伽罗瓦的天赋让他显得与众不同，以至于他在学习上的表现总是领先于他人。他对于看似复杂的数学理论有着天生的理解力，但这种天分并不意味着他的成长之路平坦无阻。

事实上，天才的孤独和不被理解是他一生的主题。以一种生动的对比来说，假设普通人的智商为 100 ，那么在智商仅有 50 的人看来，我们可能显得才智过人。

然而，在智商超过 160 的天才眼里，普通人的思考可能显得迟钝。这样的天才在人群中显得格格不入，伽罗瓦便是这样的例子。

伽罗瓦的学术之路充满坎坷。尽管他在 14 岁便对数学产生了浓厚的兴趣，并很快展现出惊人的才华，但他在教育体系内的经历却是充满挑战。他对普通教育课程的不屑让他显得格外的叛逆和封闭。

他的非凡才智并没有在当时的教育评价体系中得到认可，反而因为他的独立思考和不按常规出牌，在学术界遭到了误解。

伽罗瓦的大学生涯同样不顺。尽管他的智力远超常人，但他两度未能进入巴黎综合理工大学，这被外界解读为他对常规学术评价的轻视。

不过，他最终被巴黎高师接纳，这里聚集了当时的数学精英。

在这里，他的才华得到了一定的认可，但他的古怪行为依然让他成为了一个不被完全理解的人物。

伽罗瓦的数学贡献在他有生之年并未得到应有的重视。

他的早期作品，虽然得到了一些数学家的注意，却因各种原因未能得到公开发表。

这其中既有时代背景的限制，也有他个人命运的悲剧色彩。他的社会立场让他两度入狱，甚至一度企图自杀。

伽罗瓦之死更是充满了戏剧性。传说在决斗前夕，他将自己的数学成就汇编成文，试图为后世留下宝贵的遗产。

这些遗作最终被后人发掘，并确认了他在群论领域的开创性贡献。他的理论不仅解决了数学界长期未解的问题，还预示着现代数学、数论和计算机科学的发展方向。

伽罗瓦的群论，虽然在他有生之年鲜为人知，但后来被证明是数学中一个极其强大的工具。

它不仅证明了古典数学难题的无解性，还解释了为何五次及以上的方程无法用根式解决，以及如何确定一个正多边形能否仅用尺规作图完成。

伽罗瓦的贡献，虽然来自于一个短暂的生命，却为数学界点亮了一盏永恒的灯塔。

伽罗瓦的故事是对天才的颂歌，也是对未被理解的才华的哀叹。他的一生虽然充满坎坷，但他对数学的贡献永远铭记于世。

他用自己的才华和悲剧，提醒我们天才之花需要更多的理解和呵护，才能绽放出最耀眼的光芒。

总结：

关于群论，它是一个非常有力的工具，它可以直接证明三大古典数学难题无解。

此外，它还可以证明几个今天在数学上被称为常识的结论，比如：

5 次和 5 次以上的方程式没有解析解，而 4 次以下的一定有解析解。

什么样的正多边形可以用直尺和圆规作出来，什么样的不能。

还有大家熟悉的怀尔斯在复证费马大定理的时候，也用到了伽罗瓦理论。

关于群论具体原理和应用场景，我之前在谈伽罗瓦已经聊过了，感兴趣的读者可阅读“他只活了 21 岁，但他死去 24 年后人们才知道他的伟大！他就是数学群论的创始人”

好，今天就先这样啦～

祝幸福～

科学羊 2024/03/18