Ito's Lemma 的最初发现者，Wolfgang Doeblin ——乱世中的天才

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Ito's Lemma 的最初发现者，Wolfgang Doeblin ——乱世中的天才

原创 邰海燕 郭老师统计小课堂 2024-02-17 17:10 北京



一、序

一位德国犹太人，全家为了逃避纳粹移民法国。

在法国，他在父亲的文稿背面做算草；23 岁拿到了博士学位。

青年才俊，小有成就，恃才傲物。

二战爆发后他不得不参军，驻守马其诺防线。

在同伴眼里，他只是一个永远夹着 notebook 、沉默寡言的孤独士兵。

防线失守之后，他躲避到一个小镇。

每晚 night watch 的时候，他就默默演算自己喜爱的数学问题。

1940 年，他把自己的研究成果寄给了法国科学院，即使他自己都不确定这本笔记是否能平安递达。然后，他焚毁了自己所有手稿，以免落入德国人之手。

1940 年 6 月 21 日，在这个德军围困的小镇，Wolfgang Doeblin 自杀了。时年 25 岁。

战后，他的家人为了在法国生存下去，摆脱德国难民身份的阴影，尽力去掩盖并忘记这个亲人的存在。

小镇建起了战争纪念碑，上面并没有这位“德裔”士兵的名字。

岁月不会因为生命的流逝而减慢脚步。 悲伤也会渐渐淡去。

故纸堆里尘封的信件静静等待。

二零零零年。

Doeblin 寄出他的笔记 60 年后，经过多方劝说，他的哥哥终于同意授权打开当年他寄给法国科学院的手稿。

“…a story, an adventure…a mystery…”

薄薄一本 notebook ，发黄的纸，从整洁到纷乱，记录着他所有的研究成果——像一切优秀的数学公式一样：简洁，严谨，漂亮。

在学术界，这个公式的成熟版，被命名为 Ito's Lemma ，取自其证明人，被后世誉为“现代随机分析之父”的 Kiyoshi Ito 。

数学家们评价，Doeblin 的思想领先于他的时代 25 年。

他的雄心壮志，他的满腔热血，他的天赋奇才，在 60 年后，终于冲破战争硝烟和岁月尘埃的层层压制，绽放了应有的光芒。

小镇的纪念碑上，加上了他的法国名字：Vincent Doeblin 。

今天，Ito's Lemma偶尔也被称为 Ito–Doeblin Theorem ，以此纪念这位早逝英才。

二、Wolfgang Doeblin 的生平、尘封 60 年的手稿

Wolfgang Doeblin 于 1915 年出生在德国柏林，他的父亲是魏玛共和国时期著名的文学家和艺术家 Alfred Doeblin ，Wolfgang 是其第二个儿子。Alfred 对于当时抬头的纳粹势力十分不满，因而遭到了纳粹的追捕。

1933 年 Doeblin 全家逃到法国巴黎，为了方便与尚在德国的一些亲友保持联系，他父亲在邮局附近租了一个住所。Doeblin 当年进入 Poincare 数学研究所学习概率论。他是个沉默寡言的人，常常一个人在图书馆看书思考。

1933 年至 1939 年，他发表了有重要影响的 13 篇文章，尤其是 1938 年在其导师M. Fréchet 的指导下发表了一篇极其重要的论文，其贡献后来被人们称为马氏链的 Doeblin 常返。但是一年后，他被应征入伍，成为一名通讯兵。在艰苦危险的战争期间，他还坚持数学研究，在随身携带的笔记本上记录自己的数学发现。

1940 年5月，Doeblin 所在的部队被德军重兵包围，当德国士兵到达小村庄 Housseras 时，没有人逃跑，W. Doeblin 烧毁了他剩下的文件，并在谷仓中自杀。Doeblin 在生命的最后一段时间还在继续他的研究。可惜时间来不及让他完成他一直倾注心血研究的用布朗运动构造分布密度满足 Kolmogorov 方程的扩散过程的工作，他遗憾地停止，只好寄希望于未来的学者能够继续他的工作。他设法把笔记本寄给了法国科学院，然后结束了自己年轻宝贵的生命。

在他去世前几周，W. Doeblin 给巴黎科学院寄去了一封密封的信，信中有一篇新的数学论文。他只在寄给 M. Fréchet 的一封信中提到过这件事。自 1701 年开始，在 academie des Sciences 有一个传统：可以存放密封的信件——“plis cachetés”，一般只有寄出者、寄出者的亲属或科学院（在 100 年后）才有权打开这样一个“plis cacheté”。

1991 年，在德国杜宾根大学举行的“Doeblin 逝世 50 年后：马尔可夫链、马尔可夫过程和随机变量和理论的发展”会议上，巴黎笛卡尔大学数学史教授伯纳德·布鲁（Bernard Bru）正在寻找有关 W. Doeblin 生平的资料。在巴黎的一个档案室里，他发现了 W. Doeblin 写给弗莱谢的一封信，信中包含了有关 pli 档案的线索。经过进一步的调查和访问，他得到了 W. Doeblin 的兄弟 Claude （Klaus）和 Stephan（Stefan）的许可，可以打开这封信。此时兄弟俩还并没有意识到 W. Doeblin 工作的重要性。

伯纳德·布鲁教授（Bernard Bru）和概率学家马克·约尔教授（Marc Yor）对这篇论文进行了研究，令所有人惊讶的是，W. Doeblin早在 1940 年就创建了可与 20 世纪 50 年代由伊藤清（Kiyoshi Ito）建立的著名的 Ito 公式相媲美的公式。而伊藤清（Kiyoshi Ito）也是在 1940 年左右开始研究 Kolmogorov 方程的，随后于 20 世纪 50 年代取得了最重要的成果—— Ito's Lemma 。今天，Ito's Lemma 对统计学、经济学的许多领域，特别是在金融数学方面都具有重要意义。Black-Scholes 期权定价模型就是在此基础上提出的。

一个数学天才在世界最黑暗的时候被迫离去了，他对数学的热爱，对数学的沉迷，对数学的灵感，后人恐难以相比。他把一个新的伟大发现留给了未来的学者，他在冥冥的天空中期盼这个发现被世人所开启。然而，这位天才冥冥期盼的实现居然延迟了整整六十年！世事沧桑，半个多世纪过去了。2000 年法国科学院在 Bernard Bru 和 Marc Yor 的极力促成下终于开启了这个尘封六十年的信件。

2009 年 7 月 28 号的夜晚，柏林的夜空一定星光璀璨，因为这是个不平凡的夜晚，世界概率学家云集的夜晚，大家惊叹 Doeblin 的伟大发现，感激 Doeblin 对概率领域所做出的杰出贡献，敬佩 Doeblin 为数学献身的崇高精神。

他的雄心壮志，他的满腔热血，他的天赋奇才，在 60 年后，终于冲破战争硝烟和岁月尘埃的层层压制，绽放了应有的光芒。

参考文献

[1] Bru, Bernard, and Marc Yor. “Comments on the Life and Mathematical Legacy of Wolfgang Doeblin.” Finance and stochastics 6.1 (2002): 3–47.

[2] https://www.zentralblatt-math.org/year-of-mathematics/yom-11.pdf

[3] 豆瓣《伊藤清概率论》书评