希尔伯特：引领 20 世纪数学发展的大师

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希尔伯特：引领 20 世纪数学发展的大师

原创 科学世界 科学世界 2024-02-28 18:30 北京

除希尔伯特之外，还没有一个人能够像他那样提出 23 个重要的数学问题，对未来一个世纪的数学发展产生如此广泛与深远的影响。



1895 年，33 岁的大卫·希尔伯特（David Hilbert,1862～1943）来到了德国哥廷根大学，这个时间正好是在数学家高斯到哥廷根 100 年之后。希尔伯特是注入哥廷根学派的新鲜血液与活力因子，是被特地选中请来振兴哥廷根、再创哥廷根学派辉煌的。他在这里工作了 48 年。

著名的演讲，不朽的篇章

1900 年，第二届国际数学家大会在巴黎召开，希尔伯特在一个分组会上发表了《关于 23 个数学问题》的著名演讲，这个演讲是他经过很长时间精心准备的，并吸收了好朋友闵可夫斯基的建议。希尔伯特的演讲有下面非常精彩的开场：

《关于 23 个数学问题》节选：

“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看在今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？

历史教导我们，科学的发展具有连续性。我们知道，每个时代都有它自己的问题，这些问题后来或者得以解决，或者因为无所裨益而被抛到一边并代之以新的问题。因为一个伟大时代的结束，不仅促使我们追溯过去，而且把我们的思想引向那未知的将来。”

希尔伯特富有启发和深刻洞察的思想一下子就抓住了听众的心。他提出科学在每个时代都有自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他提出的 23 个问题，前 6 个是关于数学基础的，第 7～12 个与数论有关，第 13～19 个是涉及几何基础的，剩下的是其他问题。他希望 20 世纪的数学家们能够研究和解决这些问题。

事实证明，这 23 个问题的确成为 20 世纪数学发展的一张航图。它大大提升了希尔伯特的知名度与影响力，使他成为世界数学界的领袖人物。

一个世纪过去了，23 个问题中的大部分都已解决，有少数还没有解决，其中第 8 个问题由“黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想”组成，至今还没有完全解决。

为什么希尔伯特能提出这么多重要的问题？首先是因为他本人的研究领域很宽，他深入研究过的问题涉及代数、几何、分析、数学物理和数学哲学等领域。其次是与他和两位哥尼斯堡大学的好友赫维茨与闵可夫斯基每天下午 5 点整的散步活动有关。他们散步时讨论的都是与数学有关的问题，还做了一件特别有意义的事，即对数学的发展进行了一次“系统地勘查”，对多个数学分支进行了深入的分析，找出那些有重要意义且需要解决的问题。希尔伯特坚持参加这个散步式的研讨会长达 8 年多之久，直到他离开哥尼斯堡大学。

人们在谈论希尔伯特提出的 23 个问题时，关注的焦点都只是这一个个具体问题，没有注意到他在演讲中最后提出的“希望”。笔者特别注意到了他演讲中的最后一句话：“数学的有机统一，是这门科学固有的特点，因为它是一切精确自然科学知识的基础，为了圆满实现这个崇高的目标，愿新世纪带给数学以天才的大师和大批热情至诚的弟子。”

希尔伯特的这句话提出了数学发展的两个要素。其一是要有学派领袖或者称之为学术大师。何谓大师? 就是志向高远、眼界宽阔和业务能力超强的学者，而他们对数学所作出的突出贡献就是具有这种领袖特质的证明。他们具有足够的号召力与吸引力，是一个学科领域的领路人与带头人。笔者称这样的大师为“吸引子”，其吸引力的大小取决于他的学术成就的重要性与影响力以及个人的魅力。其二是说要有大批热情至诚的弟子跟随大师去奋斗，去研究科学难题。笔者把年轻充满活力和创造力的学生叫做“活力因子”。当初，作为“活力因子”的希尔伯特被“吸引子”菲利克斯·克莱因（Felix Klein，1849～1925）引进哥廷根大学，若干年后，希尔伯特也变成了一个重要的“吸引子”。


菲利克斯·克莱因

克莱因是一个有远大理想与目标的人。他 23 岁时就在德国埃尔兰根大学当上了正教授。在就职典礼上，他发表了一个演讲，提出用变换群的观点将几种不同的几何进行分类和统一。其思想被称为“埃尔兰根纲领”，其中包含了现代数学的重要思想。他因此名声大振，被认为是当代数学界最著名的 3 位数学家之一。

大师的魅力，学生眼中的神

19 世纪末与 20 世纪初，全世界的数学界曾流行过一个口号：“打起背包，到哥廷根去！”为什么要到哥廷根去？哥廷根究竟有什么吸引力？原来，世界各国的青年学者都是被哥廷根大学的克莱因和希尔伯特等著名数学家所吸引，要去那里学习和做研究工作。

德国教育部主管高等教育的负责人阿道尔夫在任时，希望德国能成为世界第一的数学大国。为了重振哥廷根学派的辉煌，他请来了一位著名的数学大师—克莱因。

1886 年，克莱因来到哥廷根大学，成为哥廷根学派的第四位掌门人。

在哥廷根大学，克莱因讲课一直被当作典范。他备课非常充分，板书写得十分清晰，重要的知识点、公式和图表都安排得十分妥当。而且，他在黑板上写下的字不用擦，当课讲完之后，黑板上的内容就是本节课的一个很好的总结。克莱因的这种追求完美的作风让学生对他产生了无限的膜拜与崇敬。他不仅善于讲课，讲义也写得清晰优美，还经常组织一些重要的讨论，他认为这样可以促进学术研究。研讨的内容都是他正在研究的问题，他会将自己的想法和解题思路毫无保留地传授给学生，因此，克莱因的课和讨论班对学生来说具有很大的吸引力。

克莱因的学生外尔说：“克莱因像上帝般地统治着哥廷根，他那神一样的力量主要来自于他的个性和对工作的热心奉献以及做好事情的能力。”

在希尔伯特的眼里，克莱因就是一位数学大师，他曾听过克莱因的课并参加过一个讨论班，这些都给他留下十分美好的记忆。而希尔伯特参加哥廷根学术活动的表现也给克莱因留下了深刻的印象。

克莱因到哥廷根后就一直在寻找能够带给哥廷根更大活力与辉煌的合适人选。他并没有从哥廷根大学的学生中去挑选，因为他已物色到了一个人。克莱因说：“一听希尔伯特的报告，我就知道他是一个数学方面的后起之秀。”他还仔细地保存着希尔伯特参加讨论班提交的报告。他认为这个人是有能力带领哥廷根走向新的辉煌的人，这也是克莱因邀请希尔伯特到哥廷根来的原因。

为振兴哥廷根学派，克莱因请来了希尔伯特

1894 年 12 月，希尔伯特接到克莱因的邀请信：“为了我的科学团体，我需要你这样的人。因为你的研究方向，你丰富而强有力的数学思想以及你处在富于创造力的年龄。……你还能对我产生返老还童的影响。……我将尽力让你取得这里的任命。……但是你今天就得答应我，如果接到了任命，你将不会拒绝。”

无论是从希尔伯特对克莱因的敬重与崇拜，还是从哥廷根大学在德国的影响力来看，都对希尔伯特有巨大的吸引力，使他无法拒绝这个难得的机会。他回信说：“我的一切努力所追求的最终目的，本希望只能在遥远的未来才能实现的夙愿，已经有了实现的可能。……你与有更大影响力的环境和这所大学的光荣，都是一种科学上的激发力，对我来说是具有决定意义的。”

希尔伯特的板书远不及克莱因那样尽善尽美，他一直都是一个充满激情和热衷于推行形式主义与公理化思想的人，有时也会出差错。可是希尔伯特的讲演充满了精彩的观点，给许多学生留下了十分深刻的印象。与克莱因那种精心准备、百科全书式的“尽善尽美”的授课方式相比，多数学生还是更喜欢希尔伯特的能够引人思考的课。

1933 年，希特勒上台后对犹太人采取了排斥与迫害的政策，迫使一批优秀的犹太裔科学家纷纷逃离德国，离开了哥廷根。希尔伯特亲眼目睹了克莱因和自己筑就的哥廷根学派的辉煌随风而去。哥廷根学派的衰落告诉我们一个事实，就是科学要发展，仅有天才的大师和优秀的学生是不够的，还有一点非常重要，就是需要有一个和平稳定的社会环境，这也是必要条件之一。而这一点是希尔伯特在1900年的演讲中没有意识到而被遗漏了的。

本文摘自《科学世界》2018 年第 1 期《希尔伯特：引领 20 世纪数学发展的大师》。

作者 | 金雅芬

新媒体编辑 | 张丽君