广义函数理论发展史

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广义函数理论发展史

原创 棠 数学经纬网 2023-12-21 19:00 发表于北京

01  引入




保罗·狄拉克（全名：保罗·阿德里安·莫里斯·狄拉克，Paul Adrien Maurice Dirac ，1902 年 8 月 8 日 — 1984 年 10 月 20 日），出生于英国布里斯托，理论物理学家，量子力学奠基者之一。


Oliver Heaviside FRS（1850 年 5 月 18 日 - 1925 年 2 月 3 日）是一位英国自学成才的数学家和物理学家，他发明了一种求解微分方程的新技术（相当于拉普拉斯变换）。并发展了自己的矢量微积分并重写了麦克斯韦方程组。



02  广义函数的发展

   海维赛德函数和狄拉克函数的出现暴露了古典函数概念的局限性，正是在恢复函数概念灵活性的动机上，施瓦兹才引入分布概念。在这个过程当中施瓦兹也走过弯路。


施瓦茨（1843 年 1 月 25 日 - 1921 年 11 月 30 日），法国数学家。他是继克罗内克、库默尔和魏尔斯特拉斯等人之后德国数学界的领导人之一，对 20 世纪初期的数学发展做出了重要贡献



   上述关于卷积算子的工作是施瓦兹在 1944 年 10 月的一个晚上完成的，在这之后约半年的时间里施瓦兹仍然以卷积算子为研究对象，但是在定义卷积算子的傅里叶变换时，遇到了无法克服的困难。在与这困难抗争数月之后，施瓦兹在 1945 年 4 月一天发现，如果把定义的广义函数看成泛函而不是算子，问题就会得到很好的解决。

   首先施瓦兹利用泛函的思想重新定义了测度。测度在之前被定义为关于集合的可数可加函数，施瓦兹则意识到测度把有限区域外为零的任意连续函数和一个实数或复数对应起来，从而把测度重新定义为具有紧支集的连续函数空间上的线性泛函，并且说明了测度是函数概念的推广。狄拉克函数可以看成是位于原点并且质量为 1 的质点，是一个测度。接着从物理角度出发，施瓦兹进一步引入了广义函数的概念。施瓦兹指出，有必要在数学上严格定义比质点更为复杂的物理概念——多极子。他发现通过测度的泛函定义可以把偶极子定义为一阶连续可微函数的泛函，而为了定义多极子就需要函数有足够多次的导数，从而引入了光滑且具有紧支集的函数类，并把其上定义的泛函称为分布，即我们所说的广义函数。

   在定义了分布的概念之后，施瓦兹又定义了分布的微分，即把分布的微分也看成一个分布，在具体计算中则通过分部积分把微分运算转移到基本函数空间当中，即施瓦兹写道的：

“任意分布是无限可微的,并且可以交换求导顺序。……这就使得连续函数（甚至是在有界区域内可积的函数）无穷可微;通常情况下,它的微分既不是函数也不是测度而是广义函数。然而,通常意义下连续可微函数的微分与它的广义函数微分是一致的。”


布尔巴基学派部分成员，从左到右依次为：Simone Weil 、Charles Pisot 、André Weil 、Jean Dieudonné 、Claude Chabauty 、Charles Ehresmann 、Jean Delsarte

   在布尔巴基学派的结构数学思想的指导下，施瓦兹运用对偶思想在分布空间上引入了序结构、拓扑结构和代数结构，即给出了非负分布的定义，引入了分布的乘法、张量积和卷积运算，研究了分布序列的收敛定义。在其后，施瓦兹又探讨了分布的傅里叶变换。由于通常情况下傅里叶变换和逆变换仅在一些非常强的限制条件下才有意义，这使得施瓦兹意识到不能对所有的分布都定义傅里叶变换。为了得到能在其上定义傅里叶变换的分布子空间，施瓦兹引入了基本函数空间 S ，即现在所知的施瓦兹空间或速降函数空间。施瓦兹先在速降函数空间上定义了傅里叶变换，然后通过关于通常函数与速降函数的帕塞瓦尔公式的泛函形式，把经典的傅里叶变换推广到分布上，得到分布的傅里叶变换。这时已基本形成了我们现在所看到的广义函数理论的框架。

03  总结

   物理方面的需求提供了广义函数理论发展的动力，而泛函分析的发展及其思想则给了施瓦兹定义广义函数的工具。就像分部积分公式由来已久，但若没有泛函的思想，也难以想到在这里面隐藏了定义弱导数的直觉。但是在其中值得反思的是，为什么广义函数的产生动力来源于物理而没有来源于数学自身，对于现在的数学工作者而言是否可以忽视物理？另一方面，类似于把人看成是社会关系的总和，泛函并没有我们通常所见的函数的表达式，而是用泛函与其他已知函数的关系来定义这个泛函的。所以当我们说我们知道了某个泛函，在我们头脑当中浮现的并不是这个泛函的表达式，而是这个泛函和其底空间函数的作用法则。那么我们能否不用这种绕弯子的定义方式来定义泛函，而是直接给出泛函的显式表达式呢？这也许也是一个值得思考的问题。

【参考文献】

[1] 李斐;袁敏.施瓦兹《分布理论》探源[J].西北大学学报(自然科学版),2016,46(03):464-468.DOI:10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-03-028

[2] 李斐;曲安京.施瓦兹广义函数理论的成因探析[J].科学技术哲学研究,2017,34(02):93-97.

[3] 李斐.分布理论的建立[D].西北大学,2016.

[4] （俄）A.D.亚历山大洛夫等著，孙小礼等译. 数学名著译丛 数学 它的内容，方法和意义 第 2 卷. 北京：科学出版社,2017.01.