丘成桐：怀念数学家卡拉比

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丘成桐：怀念数学家卡拉比

2023 年 9 月 25 日，著名数学家尤金尼奥·卡拉比（Eugenio Calabi）教授逝世，享年 100 岁。特此转载丘成桐先生曾为卡拉比教授百岁生辰撰写的文章，以表怀念。

撰文 | 丘成桐（清华大学讲席教授，清华大学丘成桐数学科学中心主任，求真书院院长）


卡拉比（Eugenio Calabi ，1923 年 5 月 11 日出生于意大利米兰) | 图源：Simons Center for Geometry and Physics

2023 年 5 月 11 日是尤金尼奥·卡拉比（Eugenio Calabi）教授的百岁生辰。我的老朋友 Jean-Pierre Bourguignon 特意替他编了文集，里面有不少朋友和弟子的文章。可惜这半年来，我正忙于筹备在北京举办的国际基础科学大会，实在无法坐下来写东西。现在 Bourguignon 的文集已经完成，我稍稍有空，还是想写一些感想，表达我的心意。

我第一次见到卡拉比是在 1970 年的春天。当时劳森（Blaine Lawson）刚刚在斯坦福毕业，来到伯克利当讲师，我修读他的初等微分几何，并且和他合作，写了一篇论文。他告诉我，他的博士论文得到卡拉比的指点，获益良多。又说卡拉比是富有创意的几何学家，我必须抓紧机会，趁他访问伯克利时，去见见他。

我花了点工夫寻找卡拉比，终于在伯克利数学系 Campbell Hall 的一个小小的休息室找到他。当时他架着一副深度近视的厚眼镜，正抽着烟斗，悠然自得地和年轻学生交流。他在一张纸巾上，密密麻麻地写下一堆公式，我跑过去细看，才知道这些都是描述极小子流形的公式。我和卡拉比接触更多后，才知道这是他的拿手好戏。他往往能从复杂的几何现象中，找到解析的答案。他的博士论文就是研究黎曼曲面的度量如何等距地嵌入复欧氏空间中的。

卡拉比教授的导师是普林斯顿大学的博克纳（Solomon Bochner）。博克纳教授在微分几何上的工作对我影响甚大。他退休后，搬到德州休斯顿的莱斯大学。1978 年，博克纳很想聘请我，邀请我到休斯顿作了一系列的冠名讲座。先生和我很谈得来，他告诉我卡拉比是他的博士生，由于表现出色，当时同事 Don Spencer 企图游说卡拉比转为跟随他，他知道后，便让卡拉比赶快毕业。卡拉比在他的博士论文中引入了很多重要概念。

1970 年 5 月，我对广义相对论中的一个课题发生兴趣，那就是如何构造完备的带有曲率的真空空间。这课题不容易，在图书馆翻阅书本时，无意中看到一篇卡拉比 1954 年的文章，我觉得美妙极了。他在世界数学家大会中提出了一个猜想：在所有紧的凯勒空间（Kahler space）之中，这种空间的存在有个简单的充要条件，那就是它的第一陈类等于零。这个猜想可以归结为求解一条非线性偏微分方程。1973 年夏天，我在斯坦福的微分几何大会再见到他，并告诉他我在考虑他的猜测。他告诉我，当时最伟大的数学家韦伊（André Weil）看了他的猜想以后，认为以当时对非线性偏微分方程认知之肤浅，并不足以解这条偏微分方程。

其实，1970 年春季，我修读了莫里（Charles Morrey）偏微分方程的课，他是这方面的大师。那时，美国支持越南侵入柬埔寨，伯克利很多师生都罢课抗议。最后班上只剩下我一个学生，但莫里教授还是继续上课，只不过转移到他的办公室而已。因此我学到了不少偏微分方程的知识。纵然如此，面对这方程，还是束手无策！

这是一条在复数上的蒙日—安培（Monge-Ampère）方程，有关文献基本空白。不过，实数上具有两个变量的蒙日—安培方程却有丰富多彩的历史。古典的闵可夫斯基（Minkowski）问题及外尔（Weyl）问题都由这类方程以不同的方式描述。在两个变量时，它和复分析有密切关系。在一般的情况下，则和仿射几何中的仿射球理论关系匪浅。

我从 1970 年开始就对卡拉比猜想怀着无比的热情，我认为它揭示了凯勒流形最深刻的地方，也是研究曲率的核心问题。长河大流，遇到崇山巨石阻挡，必须要移开阻碍，水流始能顺畅，才会浩荡。当时微分几何的发展，对于曲率的研究，主要局限在截面及比较定理，对最重要的里奇（Ricci）曲率茫然无所知。里奇曲率是微分几何和物理学的主要桥梁，却没有任何有意义的例子来观察。我认为微分几何必须和理论物理并流，没有好的例子成为两门伟大学科合流的主要障碍，必须要移除。当时陈先生要我攻克黎曼猜想，我反而提不起很大的兴趣，但是对这个几何猜想，却有如刘半农的歌曲，有「教我如何不想她」的感觉！

有了热情，却不知道如何入手。既然不知如何入手，就找快捷方式吧。附和着当时的看法，我着手找反例。当时大家认为这猜想过于完美，因此不可能成立。人们花了几十年的努力，这样的空间连一个也找不到，而这个猜想却闲闲地给出一大堆。现在回想起来，这样的想法其实是避重就轻，不敢正面面对方程估值遇到的困难。无论如何，我殚精竭虑地去找反例，也自以为成功了。1973 年夏天在斯坦福开会，我告诉卡拉比找到了反例。他一面吸着烟斗，一面和其他学者仔细聆听我的叙述，他不断的点头，我十分高兴，以为行了。

可是几个月后，卡拉比写了一封信给我，对我的反例提出一些问题，我一看到信，就知道大事不妙，于是花了两个礼拜，出尽法宝，都补不了反例的漏洞，同时也找不到其他反例。苦思之余，觉今是而昨非，猜想应是对的！不过话说回来，这三年寻找反例的努力没有白费，用来找反例的思路其后导出代数几何学中重要的定理。这个猜想和代数几何的深入联系，亦由此而来。

求解偏微分方程的一个已知方法是所谓“先验估值”，从低阶到高阶，一步一步的往上提升。一般的微分方程学者不会在流形上做分析，而我在 1970 年春天就开始研究流形上的分析问题了，当时研究的对象是调和函数和调和映射。我第一个估值是调和函数的梯度估值，这个方法影响了我以后在几何分析的发展，但是表面上这和蒙日—安培方程关系不大。我需要学习蒙日—安培方程的理论。考虑到函数为凸时比较容易处理，战略是先了解实数上的蒙日—安培方程。又，面对的是一般维空间，复变函数的方法用不上。我当时在斯坦福，郑绍远在伯克利还没有毕业，常来找我。他正在修读陈先生仿射几何的课，课中精华是卡拉比的某些定理。郑绍远和我一起学习卡拉比在仿射几何的伟大工作。

仿射几何中一个重要的问题是仿射球的分类。其中一类仿射球是抛物曲面的推广，一般的猜想是：improper affine sphere 就是抛物面。这个问题可以看作实蒙日—安培方程的核心问题。德国数学家 Konrad Jorgens 在 1950 年左右用复函数理论证明了二维的情形。1960 年初，卡拉比证明了在维数不超过 5 时，猜想也是对的。郑绍远和我发现我的梯度估计可以用在这个问题上，完全的解决了这个猜想。正当我们沉醉于攻克难题的快乐时，赫然发现苏联数学家波戈列洛夫（Aleksei Pogorelov）比我们早了一步解决了同一个猜想。他的论文用了与我们完全不同的方法，以后叫作波戈列洛夫估值。我和郑绍远的方法，用几何的语言叙述，不容易了解，但是方法其实更为一般，例如它可以用来解决卡拉比有关双曲仿射球的猜想，这是一项重要的工作，也可以看作是蒙日—安培方程的估值。不料以后有个中国学者在我们文章中找到一个小小的笔误，想将这工作据为己有。

我们随即发现卡拉比在一篇论文中，证明了维数小于 5 时，在闵可夫斯基空间中的最大类空超曲面只能是平面。我和郑绍远将他结果推广到任意维数。以后我的学生 Robert Bartnik 又将它推广到更一般的时空，在广义相对论有重要的贡献。五十年后，重新阅读这些文章，觉得它们还有历史上的价值，都是拜卡拉比教授工作之赐。

在 1974 年初，陈省身先生告诉我，尼伦伯格（Louis Nirenberg）要于夏天在温哥华召开的世界数学家大会中宣布他和卡拉比关于蒙日—安培方程边值问题的结果，但他们发现了证明有错误，陈先生建议我们看一下。郑绍远和我以为我们的方法可以成功的解决问题，刚开始时，遇到和他们同样的困难，幸好修正后得到正确的答案，只不过对边界正则性的要求不够完美。因为和几何的关系不大，我也不大在乎，很少人知道我们这个工作。十年后，Luis Caffereli 、尼伦伯格 和 Joel Spruck 将边界的正则性弄清楚。

除了偏微分方程的知识外，还需要对黎曼几何有足够的认识，和卡拉比猜想有关的主要是流形上里奇曲率的性质。一般来说，都是考虑里奇曲率有下界的情形。1974 年我利用几何分析的方法证明了：里奇曲率为正时，一个完备而又非紧流形的体积是无穷而且线性增长的。

投稿以后，才看到最新一期的美国数学学会出版的公布上，卡拉比发表有和我的文章类似的结果。在伯克利做报告的时候，格罗莫夫（M. Gromov）不相信我的分析证明，我花了一天工夫，用更几何的方式向他解释清楚。他弄明白后，过了几年和 Jeff Cheeger 合作，用我当天口述的方法写了一篇文章，推广了我和卡拉比的结果。

经过了这样的准备阶段，从 1975 年开始，我得到一连串的估值，已经可以证明负的凯勒—爱因斯坦度量的存在性。到了 1976 年 9 月，我以 Sloan Fellowship 访问 UCLA 期间，完成了对卡拉比猜想的全部证明。

我用了好几个不同的写法来验证证明的正确性，并由此推导出重要的代数几何上的结果。但是我还是不放心，决定 11 月到费城和卡拉比讨论我的证明。讨论了几天，大家认为无误。我应辛格（I. M. Singer）教授邀请，在 MIT 待了一个月。那时辛格正在离婚，吃了一次晚饭，讨论他和阿蒂亚（M. Atiyah）及希钦（N. Hitchin）的文章后，就无暇再长谈了。不过，这次讨论对我以后和 Karen Uhlenbeck 在规范场的工作影响很大。

我住在 MIT 旁边的公寓，开始将猜想证明完整地写出来。有几天，窗外大雪纷飞，鸦雀无声，房内心驰神会，奋笔直书。空档时跑到哈佛找人聊天，我告诉 David Mumford 教授，用卡拉比猜想的结果，加上 Mostow 刚性定理，可以证明球的商空间是刚性的，他很欣赏这个结果。我在哈佛大学演讲，课堂挤满了听众，他们对我把非线性微分方程应用到代数几何上十分兴奋。

我独自在剑桥的查尔斯河（Charles River）上散步，看着小桥流水，鸟儿飞翔，细雨绵绵，芳草芊芊，意境令人陶醉。以后媒体访问，问我证明卡拉比猜想时的心情，我就以两句宋词来回答：“落花人独立，微雨燕双飞”。

在回 UCLA 的路上，我决定到纽约去找尼伦伯格，他是非线性微分方程的权威。卡拉比也来，我们约好在纽约大学见面。那天是圣诞节，他们都是犹太人，不过圣诞的。

1975 年，我在威廉斯敦（Williamstown）的多复变函数大会上演讲，指出可利用复流形的曲率来研究复流形的单值化，萧荫堂很感兴趣，提议合作，所以从波士顿南下，经过纽黑文（New Haven）时，和他一起工作了几天。我指出，我用卡拉比猜想证明了球的商空间的刚性，同一方法应该可以推广到一般负曲率的代数流形上，空间维数必须大于一。我建议用调和映射的方法来完成这猜测。在此之前，我已经和孙理察（Richard Schoen）用调和映射证明了不少几何定理。但是萧荫堂坚决反对这想法，认为这应该是凝聚层（coherent sheaf）对偶的结果。两年后，我说服斯坦福聘请萧荫堂，又重新讨论这个问题。刚好 Eric Bedford 提供了一条线索，在强负曲率的代数流形和映射在适当的情况下，调和映射确实可以证明为全纯或是反全纯，解决了我的猜想的一部分。证明其实相当简单，可以说是微分方程惯用方法的推广。萧荫堂却没有征求我的同意下，决定自己发表这篇文章，并且洋洋洒洒的写了有关的文章，我当时正忙着卡拉比猜想的推论，直到八零年代才和 Jürgen Jost 继续。

圣诞节一早，我就到了尼伦伯格的办公室。我花了四个钟头向他和卡拉比详细解释猜想的证明，尼伦伯格终于同意证明无误，并表示赞赏。（以后他在世界数学家大会强烈推荐我得到菲尔兹奖。）

从他的办公室出来，发觉整座大楼空无一人，路上也是如此，餐馆也都关了门。结果决定步行到唐人街尼伦伯格常去的中国餐馆吃饭。

这次旅行收获良多，可是抛下新婚妻子，离家两月，归心似箭，是回家的时候了。

回到洛杉矶后，发现自己已经一举成名。但我处之泰然，仍然专注科研。没有想到的是，辛格开车子从伯克利到洛杉矶来看我，讨论学问。他是大教授，陈先生的好朋友，当时正在伯克利访问。他问我要不要考虑留在伯克利，这使我受宠若惊。

接着卡拉比也来了，他的到访使我十分高兴。我视陈省身、莫里、尼伦伯格、辛格和卡拉比为师，但思想上与卡拉比最为接近，交流最无拘束。所以每次见到他，都会上天下地，无所不谈。他喜欢在吃饭时，在纸巾上密密麻麻地写下有趣的公式，这些纸巾我都留了下来，放在抽屉里。直到十多年前，我在哈佛大学当系主任，办公室里书和文件堆积如山，秘书们大力抗议，认为我不必保留这些网上可以找到的事物。在我勉强同意下，一举清理干净。朋友看到清理过的办公室，都高高兴兴，大概他们认为是“守得云开见月明”吧。但是我每次想起这些有意义的事物都不见了，始终心有戚戚然。

这次卡拉比到访，也带上他的兄弟，我两夫妻招待他们，十分愉快。由于卡拉比猜想的证明说明了存在大量的里奇曲率为零的凯勒流形，很多学者因此得到信心，试图将这些度量具体写出来。（其实用数值计算，我本来的证明已经足够，但是要克服高维空间的计算问题。）物理学家霍金（Stephen Hawking）和 Gary Gibbons 通过相对论中的古典解，用所谓 wick rotation 的方法得到所谓引力瞬子（gravitational instanton）的解，而卡拉比则用纤维束的方法构造了不少这样的度量，不过这些具体的解都不是紧的空间。

我在写证明卡拉比猜想的论文时，已经考虑过凯勒—爱因斯坦度量的退化和带奇点的情形，因为讨论模空间的时候，必须容许这样的度量。事实上，文章的后半部就讨论并完成了带有奇异点的度量的存在定理。开始时，大家的注意力集中在不带奇异点的度量，但是这二十年来，研究带奇异点的度量成为一个重要的方向，不过大家都忘记了我早期在这方面的工作了。1978 年，我在赫尔辛基的世界数学家大会上的演讲也提到完备而非紧空间的构造，这些结果推广了上述卡拉比的构造方法。十年后，我让学生田刚把部分结果的细节写出来，成为我们合作的文章。

1977 年冬，美国数学学会在犹他州开了一个几何会议，我和卡拉比又见面了。我在会中讲述和孙理察的工作，如何利用调和影射来构造极小子流形。我指出，这个影射的能量可以视为 Teichmüller 空间上一个莫尔斯（Morse）函数，从而证明空间是可缩的。同样的思路也可以应用到高维空间的模以及其他几何结构上去。

那天雪下得大，很多人都滑雪去了。卡拉比和我们几个年轻搞几何的围着火炉聊天。我告诉他调和映射和 harmonic 1 form 很相似，因此消灭定理（vanishing theorem）很有用。我一直对松岛与三（Yozo Matsushima）在局部对称空间上的消灭定理很感兴趣，但是这理论只局限于对称空间。卡拉比很高兴地说出他的看法，用单纯的微分几何方法推导出 Matsushima 定理确是漂亮。十多年后，Jost 和我才知道如何将卡拉比的公式应用到调和映射上，并用来重新证明 Grigory Margulis 的超刚性定理。

这次交谈以后，再见已是 1979-1980 年在高等研究院的几何年，那是由我和 Armand Borel 教授主持的。当时几何分析正热得火红，大量文章涌现，很多重要的问题给破解了，牵动着整个数学界。高等研究院决定主办几何年，广发英雄帖，邀请天下豪杰，了解几何分析的前沿，并且探索发展的方向。大致上，所有几何分析的学者都被邀请，应邀而来的住在研究院的宿舍，可谓群贤毕至，少长咸集，砥砺攻错，盛况空前。

现在记忆所及的访客包括：卡拉比夫妇，孙理察夫妇，Leon Simon 一家，李伟光夫妇，Karen Uhlenbeck 和她男友 Robert Williams ，在普林斯顿大学的郑绍远夫妇，年轻学者包括 Robert Bryant ，Michael Anderson ，一群理论物理学者 Malcolm Perry ，Alan Lapedes 等，以及定时间来访问的尼伦伯格，Arthur Jaffe 和 Cliff Taubes ，Enrico Giusti 和彭罗斯（Roger Penrose）等人。

由于妻子在圣迭戈（San Diego）上班 ，我把三房一厅公寓中的房间腾出来，安置了从斯坦福带来的一个研究生。此君喜欢活动，七九年圣诞节，他趁我回香港照顾兄长的空档，在公寓搞了个圣诞舞会。我回来后，他得意洋洋地炫耀舞会开得多成功，卡拉比夫妇在跳舞，Uhlenbeck 喝醉了。惹得高等研究院向我抱怨，说我的公寓太吵了。

卡拉比夫妇请我吃了两次晚饭，一次在高等研究院，一次在他费城家中。在高等研究院，我组织了好几个讨论班，他做了多个演讲，我们私下也多次交流切磋。我和他讨论过极值度量，很有意思。但是我的注意力始终在爱因斯坦度量的一般性质和应用，并没有花太多工夫在极值度量上。

今天回顾，高等研究院的几何年办得十分成功，当时的参与者大部分还健在，大家对当年的种种光景，都留下珍贵的回忆。Borel 早已仙逝，犹幸卡拉比岿然健在，可喜可贺。（编者注：卡拉比后于 2023 年 9 月 25 日逝世。）

这一年，我接受了高等研究院的聘书，在普林斯顿安顿下来。1981 年时，大儿子出生了，妻子和岳父母在圣迭戈照顾。1982 年秋天，友云请假，带明诚到东岸来和我相聚半年，我们决定在费城落脚。房子就在卡拉比家不远。搬家时，照顾一岁小孩颇费周章，卡拉比比我能干得多，他把家中不用的小床弄来，还亲自将小床搭起，那时他已经六十多岁了，但还是兴致勃勃，这使我很感动。在这段日子，他和夫人 Juliana 常来我家聊天，我很珍惜他们的友谊。

1979 年我回国访问，在桂林认识了一位姓黄的画家，他的女儿画画很有天分，想到美国学画。Borel 夫人介绍她到费城的画院学习，但是需要人照顾，我介绍她认识卡拉比夫妇。卡拉比把任务交给他的学生杨大江，想不到近水楼台先得月，他们很快便结了婚！

这年以后，我们见面比较少了。直到我去了哈佛，他们的女儿住在附近，有时候会见到他们夫妇。九零年代中，他做了心脏搭桥手术，我特意飞去费城看望他。这次手术十分成功，至今都没有问题。

1984 年后，物理学家发展的弦论，建基于卡拉比猜想找出来的空间，他们叫它做卡拉比—丘空间。卡拉比八十岁时，我在哈佛大学的 Faculty Club 替他祝寿。我开了个玩笑：大家叫卡拉比—丘叫得这么起劲，我还以为卡拉比是我的名字呢！

这二十年来，我们见面时间不多，但是我总惦记着我的老师和朋友卡拉比先生。他一生追求学问，不慕名利，乐于教人，受到同行的尊敬，晚辈的仰望。他的数学成就斐然，早已铭刻在科学史的丰碑上。今天他寿晋期颐，我谨以楚辞的句子祝贺：

与天地兮比寿！

与日月兮齐光！


2007 年，作者与卡拉比在巴黎综合理工学院（Ecole Polytechnique）丨照片来源：Jean-Francois Dars


尤金尼奥·卡拉比

尤金尼奥·卡拉比（Eugenio Calabi ，1923-2023），美国国家科学院院士，宾夕法尼亚大学名誉教授，因在微分几何、几何流、弦理论研究以及其他复杂数学概念方面的开创性工作享誉世界。1991 年，凭借在整体微分几何（global differential geometry）方面的基础性工作，获得美国数学会颁发的“斯蒂尔奖（Steele Prizes）”。2022 年，获得意大利最高荣誉——意大利共和国功绩勋章（Order of Merit of the Italian Republic）。卡拉比教授的名字与数十个定理、猜想、特征和原理关联在一起，其中最富盛名的是卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifolds）。他与世界上最伟大的科学家、数学家合作，并培养了一批伟大的学者。卡拉比教授曾说，能够将爱好作为职业，是一生中无与伦比的幸运。

本文转载自微信公众号“数理人文”，原标题《祝贺卡拉比先生百岁生辰》。

返朴 2023-10-16 00:01 发表于北京