一段关于素数定理初等证明的美丽误会

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一段关于素数定理初等证明的美丽误会

作者：杜先伟

来源：MathSpark



上面这个定理叫做素数定理，它描述的素数在整数中分布的大致情况，断言当x很大的时候，π(x) 差不多等于 x/lnx 。这个定理在 19 世纪末的时候就完成了证明，但证明本身相当复杂，要使用到复分析的知识。英国数学家哈代说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的“深度”。他认为只用到实数不足以解决问题，必须引进复数来解决。



然而后来的发展证明哈代的眼光是错的，1949 年由匈牙利数学家 Paul Erdos 和挪威数学家 Atle Selberg 合作给出第一个只需借助数论的初等证明。当时人们普遍认为素数定理不可能用初等的方法证明，所以这个结果的影响非常大，因为它提供了一个更“纯粹”的证明。

Paul Erdos 和 Atle Selberg 都是 20 世纪中叶的非常有影响力数学家，在数论领域有非常重要的贡献。但这次合作让他们的关系变得十分紧张，主要原因在于谁应该获得这个新证明方法的大部分荣誉。



后来我们主要将这个证明归功于 Selberg ，但是他们之间的故事更像是美丽的误会，因为我比较熟悉 Erdos ，所以从他的角度来看待这段故事，或许会有一点不一样的感觉。

Erdos 一生都是个特立独行的人，不愿意为了某些利益就改变自己的立场，二战后，苏联占领了匈牙利，他回不去了。

后来他打算去美国，美国开始了麦卡锡主义，申请签证的时候，签证官问他还会回匈牙利么？他说当然，那里有他母亲，还有一大堆朋友。FBI 调查他的档案，发现了一封他写给红色中国的信，信的开头是：“华先生，考虑一个不大于 p 的素数。……”（PS：这里的华先生指的就是华罗庚。）由于当时美国对共产主义已经到了风声鹤唳的地步，美国人害怕他的信中夹杂了什么密码。Erdos 这个亲中的犹太人没有拿到美国的入境签证。



Erdos 只好跑到了以色列（毕竟是犹太人），但是 Erdos 不肯加入以色列国籍，一直保留着他的匈牙利护照。由于 Erdos 在数学界和科学界的影响，匈牙利政府后来给他颁发了一个特殊护照，承认他是匈牙利公民，并且允许他自由进入以色列。

Erdos 60 年代初和 80 年代中两次到过中国。这个疯子一生与 384 人合作发表了 1450 多篇文章。他与 Selberg 的关系紧张我更愿意将其称为一些阴差阳错的误会。

事情是这样的，Selberg 发现了一个恒等式，告诉了 Erdos ，两人从这个恒等式出发分别独立的用初等方法证明了素数定理。这冲击了人们的固有观念，影响很大。Erdos 喜欢与人交流，他把这件事情告诉了别人。Selberg 在一次聚会上，听到一个数学家告诉他说“听说 Erdos 和一个叫什么名字的人证明了素数定理，用的是初等方法。”这件事情让 Selberg 非常伤心，他回来就抢先发表了论文。所以后来大部分的功绩都被归于 Selberg 。不过 Erdos 本人对这个却不是那么在意。只是他们的关系再也回不到从前了。

二人在早已功成名就，1950 年 Selberg 就因其在解析数论方面工作菲尔兹奖，2002 年获阿贝尔奖。1983 年 Erdos 获得沃尔夫数学家。只是不知道这两位鼎鼎有名的大数学家是否会想起曾经一起合作过的时光。

即使在数学这个看似纯粹理性的领域，社会和人文因素依然起着重要的作用。认可、声誉、个人成就感等因素是复杂和多面的，什么是公平的学术认可和如何合作在今天依然是个很严重的问题。不过有一点要比传统的撕逼要好得多，即使他们的个人关系因此受损，二者学术成就依然受到广泛的尊重，比一些只知撕逼，没有学术成就的要好的多了。

原创 杜先伟 MathSpark 2023-08-31 08:01 发表于陕西