冯诺依曼奖得主特雷费森：我在数学和计算机科学之间的游荡

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冯诺依曼奖得主特雷费森：我在数学和计算机科学之间的游荡

1940 年，哈代出版了《一个数学家的辩白》，这是一位领先的纯数学家对数学的沉思。82 年后，《一个应用数学家的辩白》是一位具有哲学倾向的数值分析师的沉思，也是他的个人回忆录。作者在数值分析的工作中找到了极大的乐趣，但对它与其他数学领域的关系感到困惑。本书更准确的书名应该是《一个数值分析师的自白》，它包含更多的传记材料和更多的数学内容，尤其是在后半部分。但两本书的目的是相同的，都是从作者自己的角度对数学进行严肃的沉思。

作者：特雷费森

译者：何生

来源：图灵新知

1  开场白：我是一名满怀激情的数学家，但也充满了疑惑。

我的生活就是数学，我觉得自己与过去的数学家之间有着紧密的联系。随着时间的推移，我研究新的问题，也收获了更多的知识和方法，我越发觉得自己就是一名数学家。然而，我又觉得如今的数学家和数学脱节了。

我写这本书的初衷是为了探索这种奇怪的情况。这很自然地会让我反思自己的职业经历，于是不久我便发现自己写的还是一本回忆录。它讲述了一位数学家在数学学科的某个独特（且非常活跃的）角落里的故事。

我从事的数学领域是数值分析，我曾在 30 年前的一篇文章里这样定义数值分析：数值分析研究的是连续数学问题的算法。（这里的“连续”包含了实数和复数。）

传统的观点认为，有些数学家可能会提出对多项式的根的一些理解，然后由数值分析专家开发出计算它们的算法。例如，当 x = 1.105298546006169… 时，多项式



我们如何计算这些数呢？这需要通过执行数值分析专家开发的算法。当然，数学家还发明了许多比“求解多项式的根”还复杂的问题，比如偏微分方程，它是很多自然科学的基础。数值分析专家的任务也是求解这些问题，科学家和工程师一直在用我们的方法。

牛顿、欧拉和高斯在他们的时代里都是杰出的数值分析专家。当时，数学家有一部分工作内容就是计算，这是不言而喻的。但此后的情况发生了变化，数学的其他分支纷纷出现并蓬勃发展，其程度在那时是无法想象的。如今，大多数顶尖的数学家对计算不感兴趣，他们习惯性地避免计算，他们可能觉得从原则上讲，计算本身并不重要，因此不屑一顾。

他们还做一些其他方面的研究，而像我这样的研究人员的论文也不会发表在像《数学年鉴》这样的顶级期刊上。与此同时，数值分析领域也在蓬勃发展，当然我们有很多自己的期刊。从人员数量上讲，干我们这行的人很多，大约占从事学术研究的数学家的 5%。在科学和技术方面，我们的影响力也很大。

我个人的运气非常好。我在牛津大学担任数值分析教授，这一职位可以说是该研究领域在世界范围内最引人注目的职位。这里的数学系很大，网站上列有 100 位教授，他们与哈佛大学、麻省理工学院、斯坦福大学、加利福尼亚大学伯克利分校、剑桥大学和普林斯顿大学的教授一样，都是顶级的。不过，这些大学都没有数值分析教席，但牛津大学有。

我从 1997 年起就担任数值分析教授了。我们的数值分析组自 20 世纪 60 年代成立以来，一直是英国数值分析学科的领导者，并享誉世界。我个人也广为人知，我写的教科书和技术论文被广泛阅读。我是英国皇家学会会员，美国工业与应用数学学会前主席，并且收获了许多大奖和荣誉学位。我还是贝利奥尔学院院士，这所学院成立于忽必烈在位时期。

显然，我算是成功的，事实上可能已经到了极致。这看起来不像是一个觉得自己与数学脱节的人该有的样子。那么，这到底是怎么回事呢？

2  哈佛大学的本科阶段：选择数值分析

在哈佛大学，我和纳特是两位数学新星。哈佛的校风是：高级课程，高级课程！对数学认真的人不会沦落到去学像“数学 21”（线性代数）那样的低级课程。我第一次听到线性代数中的“特征值”这个词是在物理课上。而特征值在我的职业生涯里扮演了重要角色。

包括比尔·盖茨在内的大多数高手都选修了由约翰·马瑟教授开设的传奇的“数学 55”。然而，经过充分的利弊讨论后，我和纳特决定不选这门课，我们改选了由尼尔·费尼切尔教授的三年级分析课程“数学 105”。

为此，我们孜孜不倦地仔细研读了迪厄多内的《现代分析基础》的开头几章。按照布尔巴基的传统和名号，迪厄多内在书的开头就宣称，书里不会有数，因为数会导致不严谨的思维。他写了下面这段话：

因此，至少在形式证明方面，我们必须严格遵守公理方法，而不使用任何“几何直观”：我们特意在书里不使用任何图示，以此来强调这件事的必要性。我认为，如今的研究生若是希望理解数学研究的最新进展，就必须尽快全面地训练这种抽象的、公理化的思维方式。

我要补充一句，在后来的几十年中，甚至纯数学家群体也对布尔巴基的这种观点失去了兴趣。

迪厄多内的书仍然摆在我的书架上，前面几章的每一行都有我用橙色、黄色和蓝色笔做的标记，以区分定义、定理和其他一些重要知识点。那是一门大课，有 40 多个学生，我和纳特的成绩是 4 个 A+ 中的两个。我们同期还和史蒂夫·鲍尔默、吉姆·塞特纳等人一起上了“物理 55”。

我在哈佛大学的每个学期都选修了数学和物理，从这些课程中所学到的知识为我的职业生涯打下了基础。一般来说，我的数学课程成绩是 A ，而物理课程成绩是 A− ，我觉得这个规律恰如其分地反映了我的特长。

在大一结束时，纳特决定转到社会科学专业，这是一个重大的转变。在那之前，我们从 10 岁起就一直学着几乎完全相同的课程。1974 年后，我们各奔前程，他跟着他的父亲进入商界，而我跟着我的父亲进入了科学和学术领域。就像大多数哈佛大学毕业生一样，纳特在他的职业生涯中赚的钱比我多得多，不过大多数情况下我的钱还够花，尽管我注意到了这方面的差距，但它并没有对我造成什么困扰。

在大二的时候，那些认真学习的年轻数学人——不过纳特缺席了——赶忙上起了研究生课程。我选修了由巴里·梅热和拉乌尔·博特合作的复分析（“数学 213a/b”）课程，以及由约翰·泰特和大卫·曼福德合作的抽象代数课程（“数学 250a/b”）。

虽然当时我没有完全体会到，但后来我发现，向这一热情的四人组学习数学，就像听约翰、保罗、乔治和林戈讲解摇滚乐一样。我非常喜欢这些教授，而这一年也过得非常紧张。学习可真的不容易，在这些班里有许多研究生，他们懂的比我多，其中还有普特南数学竞赛的优胜者。

我发现还有两个本科生的数学比我好：一个是大我一岁的汤姆·古德威利，他现在是布朗大学的教授；还有一个是比我小一岁的纳特·库恩，他是科学哲学家托马斯·库恩的儿子，现在是波士顿地区的一名精神病学家。

泰特教的“数学 250a”是我唯一和比尔·盖茨一起上过的课。课程安排在周二和周四上午稍晚的时候，课后我们一群人会一起去吃午饭，基本上是我、比尔、道格·克里奇洛（如今在俄亥俄州立大学）、纳特·库恩、汤姆·古德威利，以及一个叫杰克的人——这个人姓什么我想不起来了。有时我们会在比尔的柯里尔宿舍吃饭。比尔瘦削、敏捷、自信。

在某次午餐会上，比尔夸海口说他打字的速度无敌，因为他整天都要用到键盘。我坚决不相信，所以要和他赌个输赢。于是我们来到他的房间，在两个目击者的见证下看谁打得更快。我的盲打速度显然胜过他看着键盘打字的速度。

在哈佛大学，班上另一个令我难忘的人是保罗·金斯帕格，他是一位令人印象深刻（也更自信）的年轻物理学家。金斯帕格后来创建了 arXiv ，这是一种电子印本知识库，它开启了开放存取出版的新时代。

在这个紧张的大二学年末，我走到了人生的分岔口。和年轻的数学家一样，我一直以为自己会走向纯数学之路。毕竟，这是数学的核心，是个人可以留下永久印记的道路。我记得自己当时想，在有些人还仅仅停留于解析数论或代数数论时，我比他们更严肃认真，而且觉得自己将成为这两个方面的明星。

到大二结束时，所有这些想法都烟消云散了，我决定把重点放到应用数学上。这么多年过去后，我惊讶地发现自己很难回想起当时改变想法的细节。我觉得那时自己有一种感觉，就与世界的联系而言，应用数学比纯数学更紧密。

毫无疑问，我父亲对我的影响起到了一定作用。我并不是说他试图用各种方式说服我，而是在我的童年和青少年时期，正是他把我塑造成了一个探讨科学问题的思想者。在他的影响下，我一直觉得数学是包括物理、化学和工程在内的科学谱系中的一部分。（不过我觉得当时我并没有认真对待生物学。）所以我从数学专业转到了应用数学专业，并计划从秋天开始学习应用课程，其中一门是“应用数学 211”——一门有关数值分析的研究生课程。

唐·罗斯采用了福赛思和莫勒合著以及达尔基斯特和比约克（其中的 3 位我后来非常熟悉）合著的精彩教材，积极、认真地向我们传授知识。我为此做足了准备，因为我已经为霍华德·埃蒙斯的家庭消防项目编了好几年 Fortran 程序——上课期间每周工作 10 个小时，暑假则全职工作。顺便说一句，除了比尔·盖茨，在哈佛大学 77 届毕业生中，可能只有三四个人拥有和我一样丰富的编程经验。

这就是我所发现的。数值分析是应用数学的核心、数学的核心、科学的核心。记得在工程科学实验室使用 PDP-8 的某个深夜，我终于用自己编写的 Fortran 程序，通过打靶法解决了一个边值问题。它收敛了，正确的数值结果得意洋洋地出现在那里。1975 年 11 月 4日，在我 20 岁刚过几个月的时候，我在自己的每日索引卡上写道：“‘应用数学 211’，我喜欢这门课。”

3  图灵奖：我在数学和计算机科学之间的游荡

我在 2019 年写过一段关于离散和连续问题的索引卡，关注点是图灵奖，它是计算机科学的最高荣誉。从理论上讲，计算机科学的范围是包括数值分析的，所以按理说，数值分析专家当然有资格获奖。

那么，在 72 位获奖者里有多少是数值分析专家呢？如果算上理查德·汉明（1968 年），那么答案是 3 位。另外两位“正式数值分析专家”分别是吉姆·威尔金森（1970 年）和威廉·卡亨 （1989 年）。请注意，这些分别是在 54 年、52 年和 33 年前的事了。威尔金森和卡亨的获奖原因强调的是他们对舍入误差问题的贡献，这 10% 的数值分析工作被人们误以为就是数值分析的全部。

奇怪的是，虽然我只读过一部菲尔兹奖获得者的作品，但我读过的图灵奖得主的作品大概有 15 部。据此，你可能会把我当作计算机科学家。

此外，我的经历也可以证明我是计算机科学和数学的完美结合：

● 哈佛大学本科生（1973 年—1977 年）：数学系

● 斯坦福大学研究生（1977 年—1982 年）：计算机科学系

● 纽约大学博士后（1982 年—1984 年）：数学和计算机科学系

● 麻省理工学院助理教授、副教授（1984 年—1991 年）：数学系

● 康奈尔大学副教授、全职教授（1991 年—1997 年）：计算机科学系

● 牛津大学教授（1997 年至今）：先在计算机科学系，随后转入数学系

不过，我的著作和论文表明了我的心之所向：我是一名数学家。



《一个应用数学家的辩白》，[美]劳埃德·尼克·特雷费森（Lloyd Nick Trefethen）著，何生译。

本书是著名数值分析专家劳埃德·尼克·特雷费森教授的心得之作。除了回顾早期学习数学的成长过程，以及深耕数值分析领域的心路历程，本书还体现了特雷费森教授对数学本身的深刻思考、对纯数学和应用数学的真切感悟，以及对数学所面临的挑战的反思。

特雷费森 好玩的数学 2023-08-18 07:03 发表于江西