康托开创了集合论，为啥被送进了精神病院？

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康托开创了集合论，为啥被送进了精神病院？

本文来源：襄子的箱子

本文作者：余襄子

数学，究竟是一个什么玩意儿？

或许，大部分人会直摇头，觉得数学是和自己无关的玩意儿，甚至将其当成反人类的玩意儿。

若真是如此，那我们几乎很难去解释，为什么一代又一代，人类中最杰出的那些佼佼者前仆后继地投身于数学之中，有些还不惜搭上了自己的一生。

数学对于绝大多数人来说，都是难以理解的。如果你要问我数学究竟是什么，或许这个问题与我而言就像是康德口中的物自体，属于不可知论的范畴。但是，通过讲述一个个鲜活的数学家，我们可以间接了解到数学的现象，那已经足够了，不是吗？

格奥尔格·康托于 1845 年 3 月 3 日出生于圣彼得堡，尽管他是一个德国人，但在他还没出生的时候，他的父亲从丹麦移居到了俄国。


康托

康托的父亲是具有犹太血统的丹麦商人，后来皈依了新教，而他的母亲则是一个天主教，康托和他的对手克罗内克一样，更倾向于新教。他对宗教很虔诚，或许这种信仰的力量促使他完成了一个魔鬼般的创举，尽管在一开始的时候，它被当时的人们称为撒旦。

康托的数学才能在 15 岁以前就得到了绽放，他对数学也有一种不亚于宗教般的痴迷。在柏林上大学期间，他认识了库默尔和克罗内克。1867 年，他获得了博士学位，他的论文是讨论高斯留下的关于不定方程 ax^2+by^2+cz^2=0 的 x, y, z 整数解的难点，其中，a，b，c 是任意已知数。

1874 年，康托发表了第一篇关于集合论的论文，而这一年，也是他与妻子的大喜之年，他们结婚了。

集合论，这个令人匪夷所思的新鲜事物，就这样在整个数学世界冒出了头。



首先，我们得回过头来看一下无穷，实际上，无穷包含了两个方面，一个是无穷大，还有一个就是无穷小。高斯是一个非常恐惧无穷的人，他甚至反对将无穷当成一个完全的东西来使用，他自己明令禁止在数学中使用无穷。

无穷小还曾引发了数学史上的第二次危机，那还是在牛顿-莱布尼兹时代，后来经过一代又一代人的努力，这个危机终于被魏尔斯特拉斯封印住了。就此，无穷小的问题解决了，那么问题来了，无穷大又该怎么算呢？

实际上，无穷小、无穷大与连续就像一对三胞胎一样，是数学史上的噩梦，其最早是由古希腊哲人芝诺释放出来的。

连续与无穷大这两个问题由戴德金开始，最终完成于康托之手。

好，接下来我们开启一段无穷之旅。

比如，首先我问你一个问题，正整数与实数，是否可以在数轴上形成一一对应的关系呢？或者换句话讲，它俩哪个大呢？

在一般人眼里，正整数是无穷的，实数也是无穷的，但这种无穷让人脑袋一片空白，我就将结论告诉给大家，它们不是一一对应的，正整数是可数的，实数是不可数的。

有人可能有疑惑了，实数是不可数的，这个可以理解，正整数怎么可能是可数的呢？你给我数数看？你告诉我到底有几个正整数！

小兄弟，别急，先让我把话说完。先来告诉你，什么叫作可数，什么叫作不可数。

比如，你问我，余襄子啊，你有过几个女朋友？我跟你说，你去猜吧，然后你从 1 个开始猜，一直往下猜，一个，两个，三个…一千零一个，总归能猜到，而且，你只要按照自然数的顺序猜下去，肯定不会漏掉任何一种可能性，因为，我总不能有 1.5 个女朋友吧，或者根号 7 个女朋友吧。

或者，你问，余襄子，你一年码多少字呀？你从 1 开始往后猜，可能猜到几百万，甚至几千万，只要按照自然数的顺序，你肯定能在某一时刻能猜到，而且不会漏掉任何一种可能性，因为，我总不能码 1.7 个字吧，或者根号 2 个字吧。

以上的两个例子，虽然可能性上都是无穷的，但都是可数的，可以一个一个数过去。

再比如，我问你，我现在心中想了一个数字，你猜一下。

这个时候你就一脸懵逼了。

这怎么猜？你先猜 0 ，我说不对，顺便告诉你，这个数字比 0 大，然后你怎么猜？是猜 1 呢，还是猜 0.1 ，还是 0.01 ，还是 0.001 ？你心里连个底都没有。

这就是不可数。

其实用反证法就可以证明实数是不可数的了，这里就不做论证过程了。人们发现，实数中，不可数的部分要多于可数的部分。那么问题来了，这些不可数的部分与可数的部分相比，占比是多少呢？比如，实数中，可数部分占 30% ，不可数的部分占 70% ，如果这个比值可以算出来，那么实际是占比多少呢？

告诉你答案，是无穷大，也就是说，可数部分的占比几乎为 0% 。这也就意味着，尽管实数和整数都是无穷大的，但是实数的无穷大要比整数的无穷大还要无穷大。



虽然整数有无穷多个，把它看成一个集合，那么它就是一个无穷集合，但实数是一个比整数还要多了无穷倍的无穷集合。或者可以说，整数和实数都是无穷多，但实数的无穷多比整数的无穷多更加剧烈，这种剧烈的程度，康托称之为“无穷集合的势”。

然后，康托就一直思考，如果将自然数的集合当作是势最小的无穷集合，实数集合的势肯定比自然数这个大，那么问题来了，存不存在另外一些集合，它的势处于两者之间呢？

这已经不是单纯地比大小了。

先将这个问题停一下，我先问你，奇数和偶数哪个多呢？



你想了一会，微弱地说：“一样多吧……”

很好，对了，那我再问你，整数和偶数哪个多呢？

你刚刚那个回答完全是猜的，凭直觉的，在得到我的肯定后，你似乎自信起来了，你想呀，整数里面包含奇数和偶数，现在问整数和偶数哪个多？那肯定整数多呀。这还用问吗？这不是侮辱我的智商吗？

很遗憾，你错了，在集合论中，偶数和整数一样多，因为任何一个偶数都能对应一个整数的数字，只不过它们是两倍的关系，但你想啊，偶数是无穷的，总是能以两倍这样一一对应的整数写下去，这种一一对应关系保证了偶数和整数一样多。



再问你，一条线上的所有点和一个平面上的所有点，哪个多呢？

不敢回答了吧？告诉你，一样多，甚至，一条线上的所有点和一个三维空间上的所有点是一样多的。

地球上的所有点和月球上的所有点，也是一样多的，虽然地球比月球大了很多。康托证明了，任何线段，不管多么小，都包含着与无限长的直线同样多的点。

想必你现在一定很惊讶吧。惊讶就对了，正如当时的数学家一样，将康托当成了一个疯子。无疑，他就是数学界的一个彻彻底底的革命家。

回到那个问题，如果将自然数的集合当作是势最小的无穷集合，实数集合的势肯定比自然数这个大，那么问题来了，存不存在另外一些集合，它的势处于两者之间呢？

想着想着，康托就奠定了整个集合论的根基，他给无穷集合本身下了一个定义，即如果一个集合能够找出一种对应关系，让它能和它的一部分构成一一对应，那么这个集合就是无穷的。至少在逻辑上，无穷被严格定义出来了。怎么理解这个定义呢，就比如偶数的集合，我可以用 2N ，且 N 是大于等于 1 的正整数，这就构成了一个一一对应的关系，所以，偶数是无穷的。

康托一心一意投入集合论大厦的建构之中，在他 40 岁的时候，就出版了《一般集合论基础》。果不其然，当时几乎所有的数学家都在抨击康托，甚至连康托的老师都将他当成了一个神经病。

提出了庞加莱猜想的庞加莱说：“应该把集合论当作一个有趣的病理现象来研究。”

就连康托之前的导师克罗内克，也在不遗余力地给学生们讲康托的坏话。后来康托得了精神病，克罗内克也受到了一些指责，但他的反对仅仅只是众多反对声音中的一小部分。

人们认为康托将数学带到了精神病院，可没想到的是，最后被带到精神病院的，反而是康托。

自己辛辛苦苦研究出来的成果，被几乎所有的人都视为异端，康托遭受了巨大的精神压力，陷入了精神分裂。从1884年开始，一直到 1918 年去世，康托一直分不清幻觉和现实的边界，一直在清醒和神经病之间徘徊。他变得极其沮丧，或许是对信仰的虔诚，他开始在神学中寻找慰藉，才不至于彻底崩溃。

在这期间，只有戴德金这个后半生几乎已经隐居起来的人，还对康托保持着同情之心，两人还写了不少信。

除此之外，数学学派的开山鼻祖希尔伯特对康托有过高度评价，他说康托的集合论是数学天才最优秀的作品，是最伟大的工作。

随着岁月的流逝，加上希尔伯特的背书，开始有人不断重新认识康托的集合论。但是，随着关注的人越来越多，集合论也迎来了它的危机。1897 年，意大利数学家布拉利-福尔蒂打响了反康托革命的第一枪，他从集合论的推理过程中，找出了一个刺眼的悖论，这个特殊的悖论只是几个悖论中的一个。由于这个悖论很难说清楚，因此我们用之后罗素提出来的那个悖论概括一下。

就在康托一边清醒一边神经病的时候，数学家罗素在 1908 年给康托写了一封信，信中的内容就是那个“罗素悖论”。



罗素悖论又被称为理发师悖论，大意是这样的，话说村里有一个奇葩的理发师，他定下了一个规矩，即他一定要给、而且只给那些不给自己理发的人理发，那么请问，他要给自己理发吗？

这个问题就像你女朋友嘴里的死亡问题一样，无论你回答“要”还是“不要”，都似乎不对。如果“要”，也就是说他已经给自己理发了，所以他就不能给自己理发；如果“不要”，那他就要给自己理发，但是前提是“不要”。

似乎，此题无解。

这不是一个脑筋急转弯，而是一个逻辑问题，或说数学问题，有关“集合论”的问题。

用数学的集合语言来展开一下，就是，设集合 S 是由一切不属于自身的集合所组成的，那么问题就来了，S 包含于 S 是否成立呢？



无论你回答是成立还是不成立，就像那个理发师一样，都是一个悖论。

这就像是一枚定时炸弹，如果处理不好，直接会将康托的集合论炸成灰烬，因为这说明了，康托在建构集合论大厦的时候，其基础就已经是矛盾的了。就好比，一个人造房子，将豆腐当成了砖头，无论这座楼造得多高，都是不真实的，都会倒塌。

所以，罗素的理发师引发了数学史上的第三次危机。

于是，一群数学家投入其中，开始在根子上解决这个矛盾，试图更新集合论的基础，规范出一个严格，且不自相矛盾的集合论出来，这个过程也被称为公理化集合论的过程。

大概 30 多年后，集合论的公理化大厦才在各位数学家的努力下刷新了一遍，但随之而来的却是另一个隐患，直到 1938 年哥德尔才将这个补上。

至于第四次数学危机什么时候来？或许，等到哪天有人证伪了黎曼猜想的时候，那么下一场危机就来了，恐怕到时候将会是前四次危机中影响最深远的一次，因为这牵扯了每个普通百姓，有关加密系统的，就是你用六位数保护余额不足两位数的加密系统。

1918 年 1 月 6 日，第一次世界大战快结束了，但康托迈向了死亡，享年 74 岁。正如康托所言：“数学的本质在于自由。”或许，他发起的这场革命，正是自由的一部分。

74 岁的年龄或许并不长寿，但对他来讲，我觉得已经足够了。若是他像罗素一样活到了 90 多岁，我们只要想一想“他有着犹太人的血统，且身在德国”就会再一次为他捏一把汗。



《超穷数理论基础》

[德]康托 著

齐民友 译

科学元典 2023-08-08 20:44 发表于安徽