用康托尔实数定义证明\(1-\tfrac{1}{10^n}=1=1+\tfrac{1}{10^n}\)
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-4-30 11:43 编辑用康托尔实数定义证明\(1-\tfrac{1}{10^n}=1=1+\tfrac{1}{10^n}\)
这是一个曹先生做过的练习题，曹先生说这个题是错题。“错误”的原因是康托尔把等价当成相等了。曹先生为什么要这样认为呢？其根本原因就是如果承认康托尔的实数定义，就得全面否定他的《全能近似》。与曹氏一样，e氏也间接否定康托尔实数定义，否定的原因当然是维护他的“\(\tfrac{1}{10^n}\)永远不等0”的数学思想。下边我们根据康托实数定义，证明连等式\(1-\tfrac{1}{10^n}=1=1+\tfrac{1}{10^n}\)。
【分析】要用康托尔实数定义证明连等式\(1-\tfrac{1}{10^n}=1=1+\tfrac{1}{10^n}\)，就必须验证①数列\(\{a_n=1-\tfrac{1}{10^n}\}\)、数列\(\{b_n=1\}\)、列\(\{a_n=1+\tfrac{1}{10^n}\}\)是康托尔基本有理数列；②
验证康托尔基本序列\(\{a_n=1-\tfrac{1}{10^n}\}\)、\(\{b_n=1\}\)、\(\{a_n=1+\tfrac{1}{10^n}\}\)等价；③根据康托尔实数定义写出结论。
【证明】因为对任意的p、q∈N(不妨设p<q)有\(|a_q-a_p|\)=\(|c_q-c_p|\)=\(\tfrac{1}{10^p}(1-\tfrac{1}{10^{q-p}}\)<\(\tfrac{1}{10^p}\)，所以对任给的ε>0存在\(N_ε\)，当p，q>\(N_ε\)时恒有\(|a_q-a_p|\)=\(|b_q-b_p|\)=\(|c_q-c_p|\)<ε，所以数列\(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)、\(\{c_n\}\)都是康托尔基本有理数列。又因\(|a_m-1|\)=\(|c_m-1|\)=\(\tfrac{1}{10^m}\)，所以康托尔基本数到\(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)、\(\{c_n\}\)等价。从而康托尔基本数到\(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)、\(\{c_n\}\)同类，所以根据康托尔实数定义有\(1-\tfrac{1}{10^n}=1=1+\tfrac{1}{10^n}\)【证毕】。
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