春风晚霞 发表于 2024-1-26 11:35
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{n+1，n+2，n+3,…\}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\(\{n+1,n+2,\ldots\}\subset [n,\infty)\) 有问题吗？
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-27 07:20 编辑
elim 发表于 2024-1-27 04:16
\(\{n+1,n+2,\ldots\}\subset
\(\displaystyle\lim_{n→∞}\{n+1,n+2,n+3…\}\)\(\subseteq\)\(\displaystyle\lim_{n→∞}含于空集这有可能吗？
本帖最后由 elim 于 2024-1-26 17:14 编辑
春风晚霞 发表于 2024-1-26 16:10
\(\displaystyle\lim_{n→∞}\{n+1,n+2,n+3…\}\)\(\subseteq\)\(\displaystyle\lim_{n→∞}
你这个说法根本不把它们当集合看，对一切正整数\(n\), \(\{n+1,n+2,...\}\)都是 \([n,\infty)\)的子集
对包含关系\(\{n+1,n+2,...\}\subset[n,\infty)\) 两边取极限, 包含关系会保持，于是就有
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,\ldots\}=\varnothing\). 其实这点可以直接论证如下：
\(\forall k\in\mathbb{N}\; \exists N=k\;\forall n>N\;(k\not\in\{n+1,n+2,\ldots\})\)
\(\therefore\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,\ldots\}=\varnothing\)
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-27 16:06 编辑
elim 发表于 2024-1-27 08:11
你这个说法根本不把它们当集合看，对一切正整数\(n\), \(\{n+1,n+2,...\}\)都是 \([n,\infty)\)的子集
...
根据定义1.8设\(\{A_k\}\)是一个集合列，若\(A_1\supset A_2\supset A_3…\supset A_k…\)，则称集合列为递减集合列，此时我们称交集\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k\)为集合列\(\{A_k\}\)的极限集，记为\(\displaystyle\lim_{n→∞}A_n\).
因为极限集\(\displaystyle\lim_{n→∞}\{n+1，n+2，n+3…\}\).是交集\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ \{m|m>k\;\;m,k∈N\}\)的最终计算结果，不必再作计算。
此外周民强《实变函数论》P9页例5只是定义1.8的应用特例，不是定理.它特殊之处春风晚霞已给出证明(虽然有先生说这个证明是错误的，但该先生并未指出错在哪里？为什么是错的？)并非任何定义在先生可根据上限集定义自作例子证明，切忌牵强引用。
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-27 16:18 编辑
春风晚霞 发表于 2024-1-27 14:45
根据定义1.8设\(\{A_k\}\)是一个集合列，若\(A_1\supset A_2\supset A_3…\supset A_k…\)， ...
为回答网友的质疑“你都没发现你的“证明”都没用到集合类交集与递减集合列的极限？”我把已发的证明附上。
【证明】①、因为集合列\(\{A_k\}\)单调递减，所以\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^∞ A_n=\displaystyle\lim_{n→∞}[n，∞)=[∞，∞)=\phi\)
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-28 02:10 编辑
春风晚霞 发表于 2024-1-27 16:14
为回答网友的质疑“你都没发现你的“证明”都没用到集合类交集与递减集合列的极限？”我把已 ...
为回答网友对春风晚霞证明周民强先生《实变函数论》P9页例5的质疑，该网友认为【第二个等号之后那个区间没有意义（正因为这个区间无意义，所以结论成立—春氏注)，第一个等号左右两项应当交换顺序，否则递减集合列极限的定义起到了什么作用？能这样“证明”那就不需要此定义。接下来要根据集合类交集的定义证明此问题中交集为空集】
春风晚霞对周民强《实变函数论》P9页定义1.8用颜色解读于后;
①、〔设\(\{A_k\}\)是一个集合列，若\(A_1\supset A_2\supset A_3…\supset A_k…\)，则称集合列为递减集合列，〕
②〔此时我们称交集\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k\)为集合列\(\{A_k\}\)的极限集，记为\(\displaystyle\lim_{n→∞}A_n\).〕
根据定义1.8要证明例5：若\(A_n=[n，∞)(n=1，2，…)\)，\(\displaystyle\lim_{n→∞}A_n=\phi\)，我们应 该依次做好这样几件事，①、判定集合\(\{A_k\}\)为递减集合列，由于题设交代非常清楚，可略提即可;②、根据定义1.8写出\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞A_k=\displaystyle\lim_{n→∞}[n，∞)\)；③计算\(\displaystyle\lim_{n→∞}[n，∞)\)得出结论.证明如下：
【证明】因为集合列\(\{A_k\}\)单调递减，所以\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^∞ A_n=\displaystyle\lim_{n→∞}[n，∞)=[∞，∞)=\phi\).
以上便是春风晚霞对网友的回复，感谢关注。
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-27 21:13 编辑
春风晚霞 发表于 2024-1-27 19:50
为回答网友对春风晚霞证明周民强先生《实变函数论》P9页例5的质疑，该网友认为【第二个等号之 ...
网友认为【问题还是在最后一式的第二个等号，一来右边区间无意义，二来集合列集限的定义推不出这样的结论，所以根据集合类交集的定义来证明是唯一的方法。】这种提法值得商榷，正是因为根据集合类交集\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k=\)\(\displaystyle\lim_{n→∞}[n，∞)\)得到那个不能容纳任何元素的区间[∞，∞)，也就正好说明\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞[k，∞)=\phi\)
\(\forall k\in\mathbb{N}\; \exists N=k\;\forall n>N\;(k\not\in\{n+1,n+2,\ldots\})\)
是说，对任何正整数\(k\),\(n>k\implies k\not\in\{n+1,n+2,\ldots\}\),
所以\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,\dots\}\) 不含任何正整数因而是空集．
可以这么说，春先生对集合还没有基本的认识．
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-28 02:08 编辑
elim 发表于 2024-1-27 23:30
\(\forall k\in\mathbb{N}\; \exists N=k\;\forall n>N\;(k\not\in\{n+1,n+2,\ldots\})\)
是说，对任何正 ...
elim先生你够利害了，为了你那个“1/n永远不等于0”，先改写威尔斯特拉斯ε—N定义。又准备否认自然数集是无限集的事实，现在又刷新周民强先生极限集的定义。其实，谁都没有否认在有限范围内你那个1/n不等0的说法，倒是你偏要坚决反对别人的当n趋向无穷时1/n等于0的思想。一个对极限集还要继续折腾的数学大师，对集合的基本的认知也不是很多吧？
elim 发表于 2024-1-27 23:30
\(\forall k\in\mathbb{N}\; \exists N=k\;\forall n>N\;(k\not\in\{n+1,n+2,\ldots\})\)
是说，对任何正 ...
不是明显写出\(\displaystyle\lim_{n→∞}\{n+1，n+2，n+3.……\}\)是\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞\{m|m>k\;\;m，k∈N\}\)的最终结果了吗？你还要瞎折腾个啥？